Exercício 3 Um experimento consiste no lançamento de um par de dados, um verde e um vermelho, e o registro dos números observados na face superior de ambos os dados.
(a) Descreva um espaço amostral \Omega que contenha todos os possíveis resultados deste experimento;
(b) Defina os seguintes eventos
\begin{aligned} & A: \text { 'a soma dos resultados dos dados é maior do que 8'; } \\\ & B: \text { 'o número } 2 \text { ocorre em algum dos dados'; } \\\ & C: \text { 'o resultado do dado verde é maior do que 4'. } \end{aligned}éúé
Liste todos os elementos dos eventos a seguir:
(b-1) A;
(b-2) B;
(b-3) C;
(b-4) A\capC;
(b-5) A }\mp@subsup{A}{}{c}\capC\mathrm{ .

Passo 1

O enunciado pede para modelar o experimento de lançar um dado verde e um vermelho, definindo o espaço amostral \Omega e três eventos A, B e C. Depois devemos listar os elementos de:
– (b-1) A
– (b-2) B
– (b-3) C
– (b-4) A\cap C
– (b-5) A^{c}\cap C
Conteúdo: teoria de espaço amostral e operações de eventos em probabilidade.

Passo 2

O espaço amostral \Omega é o conjunto de todos os pares ordenados (g,r) onde g (verde) e r (vermelho) podem assumir valores de 1 a 6.
\Omega = \{(g,r)\mid g=1,2,\dots,6,\;r=1,2,\dots,6\}.

Passo 3

O evento A é “a soma \,g+r é maior do que 8”. Logo,
A = \{(g,r)\in\Omega \mid g+r>8\}.
Listando todos os pares com soma maior que 8:
A = \{(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}.

Passo 4

O evento B é “o número 2 ocorre em algum dos dados”. Portanto
B = \{(g,r)\in\Omega \mid g=2\text{ ou }r=2\},
e explicitamente
B = \{(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)\}.

Passo 5

O evento C é “o resultado do dado verde g é maior do que 4”. Assim
C = \{(g,r)\in\Omega \mid g>4\} = \{(5,r),(6,r)\mid r=1,2,\dots,6\},
ou seja
C = \{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}.

Passo 6

Para A\cap C pegamos os pares de A que também satisfazem g>4. Dessa forma
A\cap C = \{(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}.

Passo 7

Para A^{c}\cap C escolhemos os pares de C cuja soma não ultrapassa 8. Em C temos g=5 ou 6; soma \le8 ocorre em
\{(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2)\}.
Logo
A^{c}\cap C = \{(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2)\}.

Resposta

(a) \displaystyle \Omega = \{(g,r)\mid g=1,\dots,6,\;r=1,\dots,6\}.
(b-1) \displaystyle A = \{(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}.
(b-2) \displaystyle B = \{(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)\}.
(b-3) \displaystyle C = \{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}.
(b-4) \displaystyle A\cap C = \{(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}.
(b-5) \displaystyle A^{c}\cap C = \{(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2)\}.

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