Se x é normalmente distribuida com média 14 e variância 4 , encontre:
\mathrm{P}(8<\mathrm{x}<12)

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
A variável X é normalmente distribuída com média \mu=14 e variância \sigma^2=4. Queremos calcular
\mathrm{P}(8 < X < 12).
Para isso, vamos usar o procedimento de padronização de uma normal e tabelas (ou função) da normal padrão.

Passo 2

Padronização da variável
Definimos a variável padrão
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
onde \sigma = \sqrt{4} = 2. Então
\mathrm{P}(8 < X < 12) = \mathrm{P}\Bigl(\frac{8-14}{2} < Z < \frac{12-14}{2}\Bigr) = \mathrm{P}(-3 < Z < -1).

Passo 3

Expressão em termos da função de distribuição acumulada \Phi
Pela definição de \Phi(z)=\mathrm{P}(Z\le z), temos
\mathrm{P}(-3 < Z < -1) = \Phi(-1) - \Phi(-3).

Passo 4

Uso da simetria da normal padrão e valores numéricos
Como \Phi(-a)=1-\Phi(a),
\Phi(-1)-\Phi(-3) = \bigl(1-\Phi(1)\bigr) - \bigl(1-\Phi(3)\bigr) = \Phi(3) - \Phi(1).
Pelas tabelas (ou calculadora): \Phi(1)\approx0,8413 e \Phi(3)\approx0,99865. Logo
\Phi(3)-\Phi(1)\approx0,99865 - 0,84130 = 0,15735.

Resposta

\mathrm{P}(8 < X < 12)\approx0,1573

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