Exercício 3.4. Explicite a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+y^prime-2 y=2 x, y(0)=0, y^prime(0)=1.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes e termo não homogeneí­o, dada por
y'' + y' - 2y = 2x,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Para resolver precisamos achar a solução geral da parte homogênea, depois uma solução particular e ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + y' - 2y = 0
Montamos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0,
cuja solução é r=1 ou r=-2. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^-2x

Passo 3

Para achar uma solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é um polinômio de grau 1, tentamos
yp(x) = A x + B
Então
yp' = A,
yp'' = 0
Substituindo em y''+y'-2y=2x obtemos
0 + A - 2(Ax + B) = 2x
Logo
-2A x + (A - 2B) = 2x + 0
Igualando coeficientes:
-2A = 2 implies A = -1,
A - 2B = 0 implies -1 - 2B = 0 implies B = -tfrac12
Assim
yp(x) = -x - tfrac12

Passo 4

A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2 e^-2x - x - tfrac12
Aplicando as condições iniciais: primeiro
y(0) = C1 + C2 - tfrac12 = 0 implies C1 + C2 = tfrac12
Depois
y'(x) = C1 e^x - 2C2 e^-2x - 1,
então
y'(0) = C1 - 2C2 - 1 = 1 implies C1 - 2C2 = 2

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = tfrac12, C1 - 2C2 = 2,
temos C2 = -tfrac12 e C1 = 1. Substituindo de volta, obtemos a solução final.

Resposta

y(x)=e^x-tfrac12e^-2x-x-tfrac12

Exercícios relacionados