Exercício 3.4. Explicite a solução do problema de valor inicial dado.
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes e termo não homogeneío, dada por
com condições iniciais
e
. Para resolver precisamos achar a solução geral da parte homogênea, depois uma solução particular e ajustar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
A parte homogênea é
Montamos a equação característica
cuja solução é
ou
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é um polinômio de grau 1, tentamos
Então
Substituindo em
obtemos
Logo
Igualando coeficientes:
Assim
Passo 4
A solução geral é
Aplicando as condições iniciais: primeiro
Depois
então
Passo 5
Resolvendo o sistema
temos
e
. Substituindo de volta, obtemos a solução final.