Exercício 3.4. Explicite a solução do problema de valor inicial dado.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem
com condições iniciais
e
.
Para resolver vamos usar o método clássico: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular para o lado direito. Em seguida aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Para resolver vamos usar o método clássico: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular para o lado direito. Em seguida aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
logo temos raiz dupla
. Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, note que o termo fonte é
. Vamos buscar uma solução particular na forma
onde
trata o termo constante e
trata o termo
.
Para o termo constante
basta tentar
. Substituindo em
vem
, ou seja
. Então
Para o termo
, use a observação de que se escrevermos
então
e a combinação
reduz a
Logo precisamos de
Integramos duas vezes escolhendo constantes zero (basta uma particular):
Assim
No total
Passo 4
A solução geral da equação completa é
Passo 5
Agora impomos as condições iniciais. Primeiro, em
:
Em seguida calculamos
. Como
temos
Em
: