Exercício 3.4. Explicite a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime-2 y^prime+y=x e^x+4, y(0)=1, y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' - 2y' + y = x e^x + 4
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1.
Para resolver vamos usar o método clássico: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular para o lado direito. Em seguida aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0 Longrightarrow (r-1)^2 = 0,
logo temos raiz dupla r=1. Portanto a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1e^x + C2,x e^x

Passo 3

Para a parte particular, note que o termo fonte é x e^x + 4. Vamos buscar uma solução particular na forma
yp(x) = yp1(x) + yp2(x),
onde yp2 trata o termo constante e yp1 trata o termo x e^x.
Para o termo constante 4 basta tentar yp2=D. Substituindo em
y''-2y'+y = D,
vem 0-0+D =4, ou seja D=4. Então
yp2 = 4
Para o termo x e^x, use a observação de que se escrevermos
yp1(x) = u(x)e^x,
então
y' = (u'+u)e^x, y'' = (u''+2u'+u)e^x,
e a combinação y''-2y'+y reduz a
(u''+2u'+u) -2(u'+u) + u = u''
Logo precisamos de
u''(x)e^x = x e^x Longrightarrow u''(x) = x
Integramos duas vezes escolhendo constantes zero (basta uma particular):
u'(x) = integral x,dx = tfracx^22, u(x) = integral tfracx^22,dx = tfracx^36
Assim
yp1(x) = x^36,e^x
No total
yp(x) = x^36e^x + 4

Passo 4

A solução geral da equação completa é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1e^x + C2,x e^x + x^36e^x + 4

Passo 5

Agora impomos as condições iniciais. Primeiro, em x=0:
y(0) = C1cdot1 + C2cdot0 + 0 + 4 = C1 + 4 = 1 Longrightarrow C1 = -3
Em seguida calculamos y'. Como
y(x) = l(C1 + C2x + tfracx^36r)e^x + 4,
temos
y'(x) = l(C1 + C2(1+x) + tfracx^22 + tfracx^36r)e^x
Em x=0:
y'(0) = l(C1 + C2r)cdot1 = -3 + C2 = 1 Longrightarrow C2 = 4

Resposta

boxed y(x) = l(-3 + 4x + tfracx^36r)e^x + 4

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