Exercício 3.4. Explicite a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+4 y=3 sin (2 x), y(0)=2, y^prime(0)=-1.

Passo 1

O problema é um valor inicial para a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: temos
y'' + 4y = 3sin(2x), y(0)=2,;y'(0)=-1
Vamos precisar achar a solução homogênea, uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar e então impor as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
r^2 + 4 = 0 ,Rightarrow, r = pm 2i
Logo a solução homogênea é
yh(x) = Acos(2x) + Bsin(2x)

Passo 3

Como o termo forçante é 3sin(2x), que é ressonante com a homogênea, tentamos uma particular da forma
yp(x) = xl(Ccos(2x) + Dsin(2x)r)
Calculando yp'' + 4yp e igualando a 3sin(2x) obtemos o sistema
-4Csin(2x) + 4Dcos(2x) = 3sin(2x),
que dá
C = -tfrac34, D = 0
Portanto
yp(x) = -tfrac34,xcos(2x)

Passo 4

A solução geral é
y(x) = Acos(2x) + Bsin(2x) - tfrac34xcos(2x)
Impondo y(0)=2 resulta
A = 2

Passo 5

Derivando
y'(x) = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x) - tfrac34l(cos(2x) - 2xsin(2x)r)
e avaliando em x=0:
y'(0) = 2B - tfrac34 = -1
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B = -tfrac18

Resposta

y(x) = 2cos(2x) - tfrac18sin(2x) - tfrac34xcos(2x)

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