Exercício 2. Expresse as curvas por uma equação em x e y.
x(t)=e^t, y(t)=4-e^2 t;

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
x(t)=e^t, y(t)=4-e^2t
e pede para eliminar o parâmetro t, obtendo uma relação só em x e y. O conteúdo aqui é usar a inversa da exponencial para escrever t em função de x e então substituir em y.

Passo 2

Da equação x(t)=e^t temos, tomando logaritmo natural em ambos os lados,
t = ln(x)
Aqui usamos que a função exponencial é bijetora em R, de modo que e^t=x implica t=ln(x).

Passo 3

Substituímos t=ln(x) em y(t)=4-e^2t. Como
e^2t=e^2ln(x)=l(e^ln(x)r)^2=x^2,
segue
y = 4 - x^2

Resposta

A equação cartesiana da curva é
y = 4 - x^2,
com domínio x>0 (já que x=e^t varia por todos os positivos).

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