5.1: Verifique que e são soluções da equação (1);
5.2: As funções e constituem um conjunto fundamental de soluções da equação (1)? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a Questão 5 que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Vamos trabalhar com as funções e . Para resolver isso, precisamos verificar se essas funções são soluções da equação dada e depois ver se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, teoria de equações diferenciais e conceitos de linearidade e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular as derivadas de e substituir na equação.
Derivadas de :
Passo 3
Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Como a igualdade é verdadeira, é uma solução da equação.
Passo 4
Agora, vamos verificar se também é uma solução. Calculamos as derivadas de :
Derivadas de :
Passo 5
Substituímos , e na equação original:
Vamos simplificar cada parte:
Sabendo que , temos:
Simplificando:
A igualdade é verdadeira, então também é uma solução da equação.
Passo 6
Agora que verificamos que ambas as funções são soluções, vamos para a parte 5.2: verificar se e formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, precisamos verificar se essas funções são linearmente independentes.
Passo 7
A maneira fácil de verificar a independência linear de duas soluções é calcular o Wronskiano. O Wronskiano de e é dado por:
Passo 8
Calculando o Wronskiano:
W(y1, y2) = x cdot cos x - sin x cdot 1 = x cos x - sin x
Para verificar a independência, precisamos que o Wronskiano seja diferente de zero em algum intervalo aberto no domínio da equação, ou seja, 0 < x < pi .
Passo 9
Analisando W(y1, y2) = x cos x - sin x :
Em x = pi2 , temos:
W(pi2) = pi2 cdot 0 - 1 = -1 neq 0
Como o Wronskiano é diferente de zero em x = pi2 , as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
Resposta
Portanto, as funções y1(x) = x e y2(x) = sin x são soluções da equação dada e constituem um conjunto fundamental de soluções, já que são linearmente independentes no intervalo 0 < x < pi .