Questão 5: Dada a equação:
5.1: Verifique que e são soluções da equação (1);
5.2: As funções e constituem um conjunto fundamental de soluções da equação (1)? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a Questão 5 que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Vamos trabalhar com as funções y1(x) = x e y2(x) = sin x . Para resolver isso, precisamos verificar se essas funções são soluções da equação dada e depois ver se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, teoria de equações diferenciais e conceitos de linearidade e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se y1(x) = x é uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular as derivadas de y1 e substituir na equação.
Derivadas de y1(x) = x :
y1'(x) = 1
y1''(x) = 0

Passo 3

Agora, substituímos y1 , y1' e y1'' na equação original:
(1 - x cos xsin x) cdot 0 - x cdot 1 + x = 0
Simplificando:
0 - x + x = 0
0 = 0
Como a igualdade é verdadeira, y1(x) = x é uma solução da equação.

Passo 4

Agora, vamos verificar se y2(x) = sin x também é uma solução. Calculamos as derivadas de y2 :
Derivadas de y2(x) = sin x :
y2'(x) = cos x
y2''(x) = -sin x

Passo 5

Substituímos y2 , y2' e y2'' na equação original:
(1 - x cos xsin x) cdot (-sin x) - x cdot cos x + sin x = 0
Vamos simplificar cada parte:
(1 - x cot x) (-sin x) - x cos x + sin x = 0
- sin x + x cot x sin x - x cos x + sin x = 0
Sabendo que cot x = cos xsin x , temos:
- sin x + x cdot cos xsin x cdot sin x - x cos x + sin x = 0
Simplificando:
- sin x + x cos x - x cos x + sin x = 0
0 = 0
A igualdade é verdadeira, então y2(x) = sin x também é uma solução da equação.

Passo 6

Agora que verificamos que ambas as funções são soluções, vamos para a parte 5.2: verificar se y1(x) = x e y2(x) = sin x formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, precisamos verificar se essas funções são linearmente independentes.

Passo 7

A maneira fácil de verificar a independência linear de duas soluções é calcular o Wronskiano. O Wronskiano de y1 e y2 é dado por:
W(y1, y2) = y1 & y2 y1' & y2' = y1 y2' - y2 y1'

Passo 8

Calculando o Wronskiano:
W(y1, y2) = x cdot cos x - sin x cdot 1 = x cos x - sin x
Para verificar a independência, precisamos que o Wronskiano seja diferente de zero em algum intervalo aberto no domínio da equação, ou seja, 0 < x < pi .

Passo 9

Analisando W(y1, y2) = x cos x - sin x :
  • Em x = pi2 , temos:
W(pi2) = pi2 cdot 0 - 1 = -1 neq 0
Como o Wronskiano é diferente de zero em x = pi2 , as funções são linearmente independentes nesse intervalo.

Resposta

Portanto, as funções y1(x) = x e y2(x) = sin x são soluções da equação dada e constituem um conjunto fundamental de soluções, já que são linearmente independentes no intervalo 0 < x < pi .

Exercícios relacionados