Exercício 5. Seja \vec{r}(t) o vetor posição de uma partícula dado por
\vec{r}(t)=a \cos (w t) \vec{i}-a \operatorname{sen}(w t) \vec{j}
Calcule o vetor velocidade \vec{v}(t) e o vetor aceleração \vec{a}(t) dados por \vec{v}=\frac{d \vec{r}(t)}{d t} e \vec{a}=\frac{d \vec{v}(t)}{d t}

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo
\vec r(t)=a\cos(\omega t)\,\vec i \;-\;a\sin(\omega t)\,\vec j
e pede o vetor velocidade \vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt} e o vetor aceleração \vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt}.
Vamos usar as derivadas de \cos e \sin e a regra da cadeia (fator \omega).

Passo 2

Derivando componente a componente para obter \vec v(t):
– Para r_x(t)=a\cos(\omega t),
v_x(t)=\frac{d}{dt}\bigl[a\cos(\omega t)\bigr] =-a\,\omega\sin(\omega t).
– Para r_y(t)=-a\sin(\omega t),
v_y(t)=\frac{d}{dt}\bigl[-a\sin(\omega t)\bigr] =-a\,\omega\cos(\omega t).
Portanto,
\vec v(t) = -\,a\omega\sin(\omega t)\,\vec i \;-\;a\omega\cos(\omega t)\,\vec j.

Passo 3

Agora derivamos \vec v(t) para obter \vec a(t):
– Para v_x(t)=-a\omega\sin(\omega t),
a_x(t)=\frac{d}{dt}\bigl[-a\omega\sin(\omega t)\bigr] =-a\,\omega^2\cos(\omega t).
– Para v_y(t)=-a\omega\cos(\omega t),
a_y(t)=\frac{d}{dt}\bigl[-a\omega\cos(\omega t)\bigr] =a\,\omega^2\sin(\omega t).
Logo,
\vec a(t) = -\,a\omega^2\cos(\omega t)\,\vec i \;+\;a\omega^2\sin(\omega t)\,\vec j.

Passo 4

Observação: podemos reescrever
\vec a(t)=-\omega^2\bigl[a\cos(\omega t)\,\vec i -a\sin(\omega t)\,\vec j\bigr] =-\omega^2\,\vec r(t),
mostrando que a aceleração aponta sempre para o centro (movimento circular uniforme).

Resposta

\displaystyle \vec v(t) = -\,a\omega\sin(\omega t)\,\vec i \;-\;a\omega\cos(\omega t)\,\vec j \displaystyle \vec a(t) = -\,a\omega^2\cos(\omega t)\,\vec i \;+\;a\omega^2\sin(\omega t)\,\vec j

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