\left(\mathbf{1 , 0}\right. ponto) O gráfico de uma parábola de equação y=a x^{2}+b x+c passa pelos P= (0,-4), Q=(2,-1) e M=(-2,5).
a) Qual o valor do produto a \times b \times c ?
Resposta:
b) Plote o gráfico dessa função.

Passo 1

O enunciado dá uma parábola de equação y = a x^{2} + b x + c que passa por três pontos: \;P=(0,-4),\;Q=(2,-1) e M=(-2,5).
Queremos em (a) calcular o produto a\times b\times c e em (b) traçar o gráfico dessa função.

Passo 2

Usamos cada ponto para montar equações em a,b,c.
Pela ordenada em x=0:
c = -4.
Em Q=(2,-1):
a\cdot2^{2} + b\cdot2 + c = -1 \quad\Longrightarrow\quad 4a + 2b -4 = -1 \quad\Longrightarrow\quad 2a + b = 1{,}5.
Em M=(-2,5):
a\cdot(-2)^{2} + b\cdot(-2) + c = 5 \quad\Longrightarrow\quad 4a -2b -4 = 5 \quad\Longrightarrow\quad 2a - b = 4{,}5.
Somando as duas últimas (2a+b)+(2a-b)=1{,}5+4{,}5 4a=6, logo
a = 1{,}5, \quad b = 1{,}5 - 2a = 1{,}5 - 3 = -1{,}5, \quad c = -4.

Passo 3

Calculamos o produto
a\times b\times c = (1{,}5)\times(-1{,}5)\times(-4) = (-2{,}25)\times(-4)=9.

Passo 4

Para esboçar o gráfico:
  • A parábola abre para cima a>0.
  • O vértice fica em
x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1{,}5}{2\cdot1{,}5} = 0{,}5, \quad y_{v} = a x_{v}^{2} + b x_{v} + c = 1{,}5\cdot(0{,}5)^{2} -1{,}5\cdot0{,}5 -4 = -4{,}375.
  • Intercepto em y: P=(0,-4).
  • Zeros (raízes) em
1{,}5x^{2} -1{,}5x -4=0 \;\Longrightarrow\; x\approx \frac{3\pm\sqrt{105}}{6}\approx -1{,}208,\;2{,}208.
Agora marcam-se no plano os pontos M(-2,5), Q(2,-1), P(0,-4), o vértice \bigl(0{,}5,-4{,}375\bigr) e as raízes, e traça-se a curva suave de uma parábola de concavidade para cima que passa por eles.

Resposta

a) 9
b) Gráfico: parabola de concavidade para cima com vértice em \bigl(0{,}5,-4{,}375\bigr), passando por M(-2,5), Q(2,-1), P(0,-4) e cortando o eixo x em x\approx -1{,}208 e x\approx 2{,}208.

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