Exercício 1.3. Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
Combine estes exercícios e resolva a equação |x^3-3 x+2|=x^3-3 x+2.
Passo 1
O exercício pede primeiro para esboçar os gráficos de quatro funções envolvendo valor absoluto e depois, usando o que aprendemos sobre valor absoluto, resolver a equação lvert x^3 -3x +2rvert = x^3 -3x +2. Vamos precisar entender transformações de f(x)=|x|, como criar a forma de cada função em pedaços (função por partes) e aplicar a propriedade |u|=u se e somente se u>=0.
Passo 2
Para esboçar f(x)=|x| basta lembrar que é a função identidade refletida no eixo y para x<0. Ou seja, temos duas retas de mesmo coeficiente angular: uma para x>=0 dada por f(x)=x, e outra para x<0 dada por f(x)=-x. O gráfico forma um “V” com vértice em (0,0).
Passo 3
A função g(x)=|x-1| é um deslocamento de f(x)=|x| uma unidade para a direita. Assim, o vértice do “V” fica em (1,0), e mantemos as duas retas: g(x)=x-1 para x>=1 e g(x)=1-x para x<1.
Passo 4
Para h(x)=|x^2-5x+4| começamos esboçando x^2-5x+4=(x-1)(x-4). Essa parábola abre para cima, cruza o eixo x em x=1 e x=4. Entre 1 e 4 o polinômio é negativo, então a parte abaixo do eixo é refletida para cima. Fora desse intervalo, o gráfico é igual ao da parábola normal.
Passo 5
No caso de p(x)=x|x|, escrevemos em pedaços: para x>=0, p(x)=xcdot x=x^2; para x<0, p(x)=xcdot(-x)=-x^2. Assim, para x>=0 temos a parte crescente de uma parábola, e para x<0 uma parte decrescente refletida.
Passo 6
Agora, para resolver lvert x^3-3x+2rvert = x^3-3x+2 usamos a propriedade de valor absoluto: lvert urvert = u é equivalente a exigir u>=0. Logo, basta achar onde
Passo 7
x^3 -3x +2 >= 0
Passo 8
Fatorando o polinômio:
Passo 9
x^3 -3x +2 = (x-1)^2(x+2)
Passo 10
Como (x-1)^2 é sempre >=0 e só anula em x=1, o sinal do produto vem de x+2. Temos: