Exercício 3. Faça um esboço dos seguintes cilindros.
z=\cos y, \quad y \in[\pi / 2,-\pi / 2]

Passo 1

O enunciado pede o esboço do cilindro dado por
z = \cos y,\quad y\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},-\tfrac{\pi}{2}\bigr]\,.
O conteúdo envolve reconhecimento de superfícies cilíndricas em geometria analítica: uma curva plana em yz é “repetida” em direções paralelas ao eixo x.

Passo 2

Uma superfície é cilindro quando a equação não envolve uma das variáveis (aqui x não aparece). Isso significa que, para cada ponto (y,z) que satisfaça z=\cos y, toda a reta paralela ao eixo x passa pela superfície.

Passo 3

Para entender a forma, projetamos no plano x=0. Nesse plano, a curva é
z = \cos y,\quad y\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr].
Os pontos-chave são:
quando y=0, \cos(0)=1;
quando y=\pm\tfrac{\pi}{2}, \cos(\pm\tfrac{\pi}{2})=0.
Assim, temos um “arco” de cosseno partindo de (y,z)=( -\tfrac{\pi}{2},0), atingindo (0,1) e voltando a (\tfrac{\pi}{2},0).

Passo 4

Esse arco é então extrudado (repetido) para todo x\in\mathbb{R}. O resultado é um “túnel” ondulado, cujas linhas de geratriz são retas paralelas ao eixo x, e cuja seção transversal no plano x=\text{constante} é sempre o arco de cosseno descrito.

Resposta

O esboço é um cilindro paralelo ao eixo x cuja seção no plano x=0 é o arco de cosseno entre \bigl(-\tfrac{\pi}{2},0\bigr), \bigl(0,1\bigr) e \bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr). Visualize uma crista suave com máximo z=1 em y=0 e caindo até z=0 em y=\pm\tfrac{\pi}{2}, estendida indefinidamente ao longo de x.

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