Exercício 1. Faça um esboço das sequintes cônicas.
\frac{x^{2}-8 x}{4}+y^{2}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede o esboço da cônica dada por
\frac{x^{2}-8x}{4}+y^{2}+2y=0.
O conteúdo aqui é cônicas em coordenadas cartesianas e vamos usar o método de completar quadrados para levá-la à forma canônica.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
x^{2}-8x+4y^{2}+8y=0.

Passo 3

Agora completamos quadrados em x e em y:
x^{2}-8x = (x-4)^{2}-16, \quad 4y^{2}+8y = 4\bigl(y^{2}+2y\bigr) =4\bigl((y+1)^{2}-1\bigr) =4(y+1)^{2}-4.
Substituindo:
(x-4)^{2}-16 \;+\;4(y+1)^{2}-4 \;=\;0 \;\;\Longrightarrow\;\; (x-4)^{2}+4(y+1)^{2}=20.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 20 obtemos a forma canônica:
\frac{(x-4)^{2}}{20} \;+\;\frac{(y+1)^{2}}{5} \;=\;1.

Passo 5

Dessa forma identificamos uma elipse com:
– centro \,(4,-1),
– semi-eixo maior ao longo de x:
a=\sqrt{20}=2\sqrt5,
– semi-eixo menor ao longo de y: b=\sqrt{5}. Os vértices são (4\pm2\sqrt5,\,-1) e (4,\,-1\pm\sqrt5).

Passo 6

Para o esboço:
  1. Desenhe o centro em (4,-1).
  2. Marque os vértices horizontais em (4\pm2\sqrt5,-1) e verticais em (4,-1\pm\sqrt5).
  3. Trace a elipse suave passando por esses vértices, respeitando o alongamento maior no eixo x.

Resposta

A equação em forma canônica é
\frac{(x-4)^{2}}{20} + \frac{(y+1)^{2}}{5} = 1,
ou seja, trata-se de uma elipse de centro (4,-1), semi-eixo maior 2\sqrt5 em x e semi-eixo menor \sqrt5 em y.

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