Exercício 1. Faça um esboço das sequintes cônicas.
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=9

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva dada por
\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 9.
O conteúdo é Seções Cônicas, em particular a Elipse. Para desenhar, vamos reescrever na forma padrão, encontrar semi-eixos e pontos notáveis.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por 9 para obter a forma unitária da elipse:
\frac{x^{2}}{4\cdot9} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1.

Passo 3

Identificamos os semi-eixos a e b pela comparação com
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.
Aqui a^{2}=36 e b^{2}=9, logo
a = 6,\quad b = 3.
O semi-eixo maior de comprimento 6 é paralelo ao eixo x e o menor de comprimento 3 é paralelo ao eixo y.

Passo 4

Os pontos de interseção com os eixos coordenados (os vértices da elipse) são:
(x,y) = (\,\pm a,0) = (\pm6,0), \quad (x,y) = (0,\pm b) = (0,\pm3).

Passo 5

Um parâmetro conveniente é
x = 6\cos t,\quad y = 3\sin t,
para t de 0 a 2\pi, garantindo a forma elíptica.

Resposta

A curva é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento 6 ao longo do eixo x e semi-eixo menor de comprimento 3 ao longo do eixo y. Seus vértices são (\pm6,0) e (0,\pm3).

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