Exercício 1. Faça um esboço das superfícies de equações:
x=5

Passo 1

O enunciado pede que eu faça um esboço (um desenho/representação) da superfície dada pela equação x=5.
Informações dadas: a única equação que define a superfície é x=5.
Pergunta clara: desenhar/esboçar a superfície no espaço tridimensional.

Passo 2

Interpretação geométrica imediata da equação x=5: isso significa que, para todo ponto da superfície, a coordenada x vale sempre 5. As coordenadas y e z ficam livres, podem ser quaisquer números reais. Portanto os pontos da superfície têm a forma (5,y,z) com y\in\mathbb{R} e z\in\mathbb{R}.

Passo 3

Representação paramétrica (útil para visualizar): posso escrever parâmetros s e t para as coordenadas y e z. Assim
(x,y,z) = (5,s,t),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Em forma vetorial:
\mathbf{r}(s,t) = (5,0,0) + s(0,1,0) + t(0,0,1).
Explicando: (5,0,0) é um ponto base na superfície (onde y=0,z=0); os vetores (0,1,0) e (0,0,1) deslocam ao longo de y e z. Variando s,t obtenho toda a superfície.

Passo 4

Normal e orientação: a superfície é um plano e seu vetor normal é (1,0,0). Isso dá a informação: o plano é perpendicular ao eixo x (porque o eixo x tem direção (1,0,0)). Outra forma de ver: a função f(x,y,z)=x-5 tem gradiente \nabla f=(1,0,0), que é ortogonal à superfície dada por f=0.

Passo 5

Relações com os planos e eixos coordenados (isso ajuda no esboço):
  • Interseção com o eixo x: ocorre quando y=0 e z=0. Substituindo obtemos o ponto (5,0,0). Então o plano cruza o eixo x em (5,0,0).
  • Interseção com o plano xy (onde z=0): fica a reta \{(5,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\}, ou seja, uma reta paralela ao eixo y localizada em x=5.
  • Interseção com o plano xz (onde y=0): fica a reta \{(5,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}, uma reta paralela ao eixo z em x=5.
  • O plano não intersecta os eixos y e z (esses têm x=0, diferente de x=5).

Passo 6

Exemplos concretos de pontos que estão no plano (para checar ou plotar): (5,0,0), (5,1,0), (5,0,2), (5,-3,4). Se você pegar um ponto como (4,0,0) e substituir, verá que não satisfaz x=5, logo não pertence ao plano.

Passo 7

Como fazer o esboço no papel (passo a passo prático):
  1. Desenhe os três eixos coordenados em perspectiva: eixo x saindo para a direita (marque números positivos), eixo y saindo para cima/para a esquerda (ou horizontal segundo sua convenção), e eixo z para cima verticalmente (ou para fora da página) — o importante é manter percepção de profundidade.
  2. Marque no eixo x o ponto x=5 e desenhe uma linha paralela ao plano yz passando por esse valor de x. Na prática, desenhe um retângulo fino vertical passando por (5,0,0) e paralelo ao plano que contém y e z.
  3. Trace as retas de interseção com os planos coordenados: a reta em z=0 (no plano xy) e a reta em y=0 (no plano xz), ambas passando por (5,0,0). Isso ajuda a posicionar corretamente.
  4. Sombreie levemente o retângulo para sugerir que a superfície se estende infinitamente nessa direção (lembre-se: é um plano infinito). Use traço contínuo para a parte frontal e traço pontilhado para a parte que estaria “atrás” em sua perspectiva, se quiser indicar profundidade.

Passo 8

Resumo didático curto para decorar: a equação x= constante define sempre um plano paralelo ao plano yz. Se a constante fosse a, o plano seria \{(a,y,z)\}. Aqui a constante é 5, então o plano está deslocado ao longo do eixo x até x=5.

Passo 9

Pequena checagem mental para a prova: se te derem um ponto e pedirem se pertence ao plano, basta verificar a coordenada x. Se x=5, pertence; caso contrário, não. Isso é rápido e à prova de erros por falta de visualização.

Resposta

\{(5,y,z)\mid y,z\in\mathbb{R}\} — plano vertical paralelo ao plano yz, localizado em x=5, que intercepta o eixo x em (5,0,0).

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