Exercício 1. Faça um esboço das superfícies de equações:
Passo 1
O enunciado pede que eu faça um esboço (um desenho/representação) da superfície dada pela equação
.
Informações dadas: a única equação que define a superfície é .
Pergunta clara: desenhar/esboçar a superfície no espaço tridimensional.
Informações dadas: a única equação que define a superfície é
Pergunta clara: desenhar/esboçar a superfície no espaço tridimensional.
Passo 2
Interpretação geométrica imediata da equação
: isso significa que, para todo ponto da superfície, a coordenada
vale sempre
. As coordenadas
e
ficam livres, podem ser quaisquer números reais. Portanto os pontos da superfície têm a forma
com
e
.
Passo 3
Representação paramétrica (útil para visualizar): posso escrever parâmetros
e
para as coordenadas
e
. Assim
Em forma vetorial:
Explicando:
é um ponto base na superfície (onde
); os vetores
e
deslocam ao longo de
e
. Variando
obtenho toda a superfície.
Passo 4
Normal e orientação: a superfície é um plano e seu vetor normal é
. Isso dá a informação: o plano é perpendicular ao eixo
(porque o eixo
tem direção
). Outra forma de ver: a função
tem gradiente
, que é ortogonal à superfície dada por
.
Passo 5
Relações com os planos e eixos coordenados (isso ajuda no esboço):
- Interseção com o eixo
: ocorre quando e . Substituindo obtemos o ponto . Então o plano cruza o eixo em . - Interseção com o plano
(onde ): fica a reta , ou seja, uma reta paralela ao eixo localizada em . - Interseção com o plano
(onde ): fica a reta , uma reta paralela ao eixo em . - O plano não intersecta os eixos
e (esses têm , diferente de ).
Passo 6
Exemplos concretos de pontos que estão no plano (para checar ou plotar):
,
,
,
. Se você pegar um ponto como
e substituir, verá que não satisfaz
, logo não pertence ao plano.
Passo 7
Como fazer o esboço no papel (passo a passo prático):
- Desenhe os três eixos coordenados em perspectiva: eixo
saindo para a direita (marque números positivos), eixo saindo para cima/para a esquerda (ou horizontal segundo sua convenção), e eixo para cima verticalmente (ou para fora da página) — o importante é manter percepção de profundidade. - Marque no eixo
o ponto e desenhe uma linha paralela ao plano passando por esse valor de . Na prática, desenhe um retângulo fino vertical passando por e paralelo ao plano que contém e . - Trace as retas de interseção com os planos coordenados: a reta em
(no plano ) e a reta em (no plano ), ambas passando por . Isso ajuda a posicionar corretamente. - Sombreie levemente o retângulo para sugerir que a superfície se estende infinitamente nessa direção (lembre-se: é um plano infinito). Use traço contínuo para a parte frontal e traço pontilhado para a parte que estaria “atrás” em sua perspectiva, se quiser indicar profundidade.
Passo 8
Resumo didático curto para decorar: a equação
constante define sempre um plano paralelo ao plano
. Se a constante fosse
, o plano seria
. Aqui a constante é
, então o plano está deslocado ao longo do eixo
até
.
Passo 9
Pequena checagem mental para a prova: se te derem um ponto e pedirem se pertence ao plano, basta verificar a coordenada
. Se
, pertence; caso contrário, não. Isso é rápido e à prova de erros por falta de visualização.