Exercício 5. Verifique que os limites abaixo não existem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o limite
não existe. Informações dadas e observações iniciais:
- A função dada é
. - O ponto de interesse é
. - Ao substituir
obtemos numerador e denominador , ou seja . Isso indica indeterminação no ponto, então devemos estudar o comportamento da função quando se aproxima de por diferentes caminhos.
Passo 2
Regra prática que vamos usar (explicada de forma didática): para limites em duas variáveis, se o limite existir ele deve ter o mesmo valor independentemente de como nos aproximamos do ponto (por qualquer caminho). Uma maneira simples de testar se o limite não existe é calcular o limite ao longo de caminhos diferentes; se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite total não existe.
Vou usar caminhos retos que passam por
. Parametrizamos uma reta de inclinação
que passa por
por
Para estudar a aproximação ao ponto, é confortável reescrever
como
com
. Aqui
é um parâmetro real que mede o quanto
se afasta de
. Assim
equivale a
. Explico passo a passo essa parametrização porque é um truque padrão: reduz o problema a tomar um limite de uma variável (
) em vez de duas.
Passo 3
Parametrizando pela reta de inclinação
:
Substituo na função. Primeiro o numerador:
Desenvolvendo
:
Então
Agora o denominador:
Portanto, para
(estamos aproximando, não avaliando exatamente no ponto),
Como
podemos dividir numerador e denominador por
:
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. Se
(caso
será tratado em seguida), temos
Isso significa que o valor do limite ao longo da reta de inclinação
é
, que depende de
. Para mostrar não existência do limite total, basta escolher dois valores de
que produzam resultados diferentes. Por exemplo:
- Para
(reta horizontal ) temos
- Para
(reta com inclinação , ou seja ) temos
Como ao nos aproximarmos por duas retas diferentes obtemos limites distintos (
e
), o limite global não pode existir.
Observação sobre
: para
a parametrização dá
, e aí o denominador
é zero para todos os pontos dessa reta, de modo que a função não está definida em pontos próximos nessa direção — isso apenas confirma que se aproximar por
não fornece um valor bem definido da função; não precisamos desse caso para concluir a não existência do limite, pois já encontramos duas direções (
e
) que levam a valores diferentes.
Passo 5
Conclusão lógica: como há caminhos de aproximação a
que produzem valores diferentes para a expressão, o limite
não existe.
Resposta
O limite não existe.