Exercício 5. Verifique que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{x^{2}-y}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2}-y}{x-y}
não existe. Informações dadas e observações iniciais:
  • A função dada é f(x,y)=\dfrac{x^{2}-y}{x-y}.
  • O ponto de interesse é (1,1).
  • Ao substituir (x,y)=(1,1) obtemos numerador 1^{2}-1=0 e denominador 1-1=0, ou seja 0/0. Isso indica indeterminação no ponto, então devemos estudar o comportamento da função quando (x,y) se aproxima de (1,1) por diferentes caminhos.

Passo 2

Regra prática que vamos usar (explicada de forma didática): para limites em duas variáveis, se o limite existir ele deve ter o mesmo valor independentemente de como nos aproximamos do ponto (por qualquer caminho). Uma maneira simples de testar se o limite não existe é calcular o limite ao longo de caminhos diferentes; se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite total não existe.
Vou usar caminhos retos que passam por (1,1). Parametrizamos uma reta de inclinação k que passa por (1,1) por
y = 1 + k(x-1).
Para estudar a aproximação ao ponto, é confortável reescrever x como x=1+t com t\to0. Aqui t é um parâmetro real que mede o quanto x se afasta de 1. Assim x\to1 equivale a t\to0. Explico passo a passo essa parametrização porque é um truque padrão: reduz o problema a tomar um limite de uma variável ( t) em vez de duas.

Passo 3

Parametrizando pela reta de inclinação k:
x = 1+t,\qquad y = 1 + k t.
Substituo na função. Primeiro o numerador:
x^{2}-y = (1+t)^{2} - (1+kt).
Desenvolvendo (1+t)^{2}:
(1+t)^{2} = 1 + 2t + t^{2}.
Então
x^{2}-y = \bigl(1 + 2t + t^{2}\bigr) - \bigl(1 + kt\bigr) = (2-k)t + t^{2}.
Agora o denominador:
x-y=(1+t)-(1+kt)=(1-k)t.
Portanto, para t\neq0 (estamos aproximando, não avaliando exatamente no ponto),
\frac{x^{2}-y}{x-y} = \frac{(2-k)t + t^{2}}{(1-k)t}.
Como t\neq0 podemos dividir numerador e denominador por t:
\frac{x^{2}-y}{x-y} = \frac{(2-k) + t}{1-k}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando t\to0. Se k\neq1 (caso k=1 será tratado em seguida), temos
\lim_{t\to0} \frac{(2-k)+t}{1-k} = \frac{2-k}{1-k}.
Isso significa que o valor do limite ao longo da reta de inclinação k é \dfrac{2-k}{1-k}, que depende de k. Para mostrar não existência do limite total, basta escolher dois valores de k que produzam resultados diferentes. Por exemplo:
  • Para k=0 (reta horizontal y=1) temos
\frac{2-0}{1-0}=2.
  • Para k=2 (reta com inclinação 2, ou seja y=1+2(x-1)) temos
\frac{2-2}{1-2}= \frac{0}{-1}=0.
Como ao nos aproximarmos por duas retas diferentes obtemos limites distintos ( 2 e 0), o limite global não pode existir.
Observação sobre k=1: para k=1 a parametrização dá y=x, e aí o denominador x-y é zero para todos os pontos dessa reta, de modo que a função não está definida em pontos próximos nessa direção — isso apenas confirma que se aproximar por y=x não fornece um valor bem definido da função; não precisamos desse caso para concluir a não existência do limite, pois já encontramos duas direções ( k=0 e k=2 ) que levam a valores diferentes.

Passo 5

Conclusão lógica: como há caminhos de aproximação a (1,1) que produzem valores diferentes para a expressão, o limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2}-y}{x-y}
não existe.

Resposta

O limite não existe.

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