Exercício 3. Se a fase do movimento harmônico simples de um sistema massa mola é \varphi=\frac{\pi}{6}, sua amplitude é A e sua frequência angular \omega. Sabendo que a posição é dada por x=A \cos (\omega t+\varphi) determine:
a) qual a razão entre a energia cinética e potencial em um instante t qualquer?
b) E em t=0 ?

Passo 1

O enunciado trata de um movimento harmônico simples (MHS) com
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde \varphi=\tfrac{\pi}{6}, A é a amplitude e \omega a frequência angular. Queremos:
a) a razão \tfrac{K}{U} em instante genérico t;
b) a energia total E no instante t=0.

Passo 2

Em MHS a energia cinética e a energia potencial são
K=\frac12\,m\,v^2,\qquad U=\frac12\,k\,x^2,
e como k=m\omega^2 temos
\frac{K}{U} =\frac{\tfrac12\,m\,v^2}{\tfrac12\,m\omega^2\,x^2} =\frac{v^2}{\omega^2\,x^2}.

Passo 3

Derivando x(t) obtemos
v(t)=\dot x(t)=-A\,\omega\,\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
logo
\frac{K}{U} =\frac{A^2\omega^2\sin^2(\omega t+\varphi)}{\omega^2A^2\cos^2(\omega t+\varphi)} =\tan^2\bigl(\omega t+\varphi\bigr) =\tan^2\!\Bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{6}\Bigr).

Passo 4

Em t=0 temos
x(0)=A\cos\varphi=A\cos\tfrac{\pi}{6},\qquad v(0)=-A\omega\sin\varphi=-A\omega\sin\tfrac{\pi}{6}.
Então
K(0)=\frac12mA^2\omega^2\sin^2\tfrac{\pi}{6},\quad U(0)=\frac12m\omega^2A^2\cos^2\tfrac{\pi}{6},
e a energia total
E(0)=K(0)+U(0) =\frac12m\omega^2A^2\bigl(\sin^2\tfrac{\pi}{6}+\cos^2\tfrac{\pi}{6}\bigr) =\frac12m\omega^2A^2.

Resposta

a) \displaystyle \frac{K}{U}=\tan^2\!\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{6}\bigr).
b) \displaystyle E(0)=\tfrac12\,m\,\omega^2\,A^2.

Exercícios relacionados