Exercício 4.3 Quatro objetos, cada um com uma carga de módulo q, estão localizadas nos cantos de um quadrado de lados d. Dois objetos têm carga positiva e dois negativa, com objetos de mesmo tipo de carga localizados em cantos opostos do quadrado. (a) A energia potencial elétrica associada com essa distribuição de carga é postiva, negativa ou zero? (b) Confirma sua resposta calculando a energia potencial elétrica.
25.35. (a) Negative (b) Let the charged objects be lettered A through D . Let and A and C be positive, and let B and D be negative. The total electrostatic potential energy can be written as U= \frac{k}{d}\left(q_{\mathrm{A}} q_{\mathrm{B}}+q_{\mathrm{B}} q_{\mathrm{C}}+q_{\mathrm{C}} q_{\mathrm{D}}+q_{\mathrm{A}} q_{\mathrm{D}}+\frac{q_{\mathrm{A}} q_{C}}{\sqrt{2}}+\frac{q_{\mathrm{B}} q_{\mathrm{D}}}{\sqrt{2}}\right). Inserting positive and negative charges where appropriate, we obtain U=\frac{k q^{2}}{d}(\sqrt{2}-4).

Passo 1

O enunciado considera quatro cargas pontuais de mesmo módulo q localizadas nos vértices de um quadrado de lado d, sendo que em vértices opostos as cargas têm mesmo sinal (duas positivas e duas negativas). Queremos determinar o sinal da energia potencial elétrica dessa distribuição e calcular o valor de
U=\sum_{i<j}\frac{k\,q_iq_j}{r_{ij}}
onde k é a constante eletrostática e r_{ij} a distância entre as cargas i e j.

Passo 2

Rotulemos os vértices do quadrado como A,B,C,D em sentido horário, de modo que \,q_A=+q, \,q_B=-q, \,q_C=+q, \,q_D=-q.
As distâncias entre vizinhos de aresta valem d e entre vértices opostos (diagonais) valem d\sqrt{2}.

Passo 3

Calculemos a contribuição das interações entre vizinhos de aresta:
q_Aq_B=q_Bq_C=q_Cq_D=q_Dq_A=-q^2,
cada uma a distância d. Logo, a soma dessas quatro contribuições é
U_{\text{arestas}} =4\cdot\frac{k(-q^2)}{d} =-\frac{4kq^2}{d}.

Passo 4

Agora as interações diagonais A\!-\!C e B\!-\!D. Tem-se
q_Aq_C=(+q)(+q)=+q^2,\quad q_Bq_D=(-q)(-q)=+q^2,
cada uma a distância d\sqrt{2}. A soma é
U_{\text{diagonais}} =2\cdot\frac{k(+q^2)}{d\sqrt{2}} =\frac{2kq^2}{d\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}\,kq^2}{d}.

Passo 5

Somando ambas as partes,
U = U_{\text{arestas}} + U_{\text{diagonais}} = -\frac{4kq^2}{d} + \frac{\sqrt{2}\,kq^2}{d} = \frac{kq^2}{d}\bigl(\sqrt{2}-4\bigr).
Como \sqrt{2}\approx1,41<4, o parêntese fica negativo, logo U<0.

Resposta

(a) A energia potencial é negativa.
(b) U = \frac{kq^2}{d}\bigl(\sqrt{2}-4\bigr).

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