Resolva as Equações Lineares:
\left(1+x^{2}\right) d y+\left(x y+x^{3}+x\right) d x=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem e linear em y:
(1+x^2)\,dy + (x\,y + x^3 + x)\,dx = 0.
Queremos escrever na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)
para, em seguida, aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 1+x^2, obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{x}{1+x^2}\,y = -\,\frac{x^3 + x}{1+x^2}.
Note que
P(x) = \frac{x}{1+x^2}, \quad Q(x) = -\,\frac{x^3 + x}{1+x^2} = -\,x.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) satisfaz
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \frac{x}{1+x^2}\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\tfrac12\ln(1+x^2)\Bigr) = \sqrt{1+x^2}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=\sqrt{1+x^2}, vem
\sqrt{1+x^2}\,\frac{dy}{dx} + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,y = -\,x\sqrt{1+x^2}.
Repare que o lado esquerdo é exatamente
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{1+x^2}\,y\bigr).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\sqrt{1+x^2}\,y = \int -\,x\sqrt{1+x^2}\,dx + C.
Para calcular \displaystyle\int x\sqrt{1+x^2}\,dx, use u=1+x^2, du=2x\,dx, obtendo
\int x\sqrt{1+x^2}\,dx = \frac12\int \sqrt{u}\,du = \frac12\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = \frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2}.
Logo,
\sqrt{1+x^2}\,y = -\frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2} + C.

Passo 6

Para finalizar, isolamos y dividindo por \sqrt{1+x^2}:
y = -\frac{1}{3}(1+x^2) + \frac{C}{\sqrt{1+x^2}}.

Resposta

A solução geral da equação é
\boxed{y(x) = -\frac{1+x^2}{3} \;+\; \frac{C}{\sqrt{1+x^2}},}
onde C é a constante de integração.

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