Exercício 1. Verifique em cada um dos casos abaixo se as bases E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) têm a mesma orientação:
f1=e1+e2+e3, f2=e1-e2-e3 e f3=e1+e2-e3.

Passo 1

O enunciado define duas bases em R^3:
E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) e
F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3) com
overrightarrow f1=overrightarrow e1+overrightarrow e2+overrightarrow e3,
overrightarrow f2=overrightarrow e1-overrightarrow e2-overrightarrow e3,
overrightarrow f3=overrightarrow e1+overrightarrow e2-overrightarrow e3.
Queremos saber se E e F têm a mesma orientação. Para isso, usamos o critério do determinante da matriz de mudança de base de E para F: se det>0, as orientações coincidem; se det<0, são opostas.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de overrightarrow fj na base E e montamos a matriz
A=l[,[overrightarrow f1]E;[overrightarrow f2]E;[overrightarrow f3]Er] = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & -1 & -1 ,
pois
, [overrightarrow f1]E=(1,1,1),
[overrightarrow f2]E=(1,-1,-1),
[overrightarrow f3]E=(1,1,-1).

Passo 3

Calculamos det(A) pela regra de Sarrus ou expansão:
det(A) =1l((-1)(-1)-(1)(-1)r) -1l((1)(-1)-(1)(1)r) +1l((1)(-1)-(-1)(1)r) =1(1+1)-1(-1-1)+1(-1+1) =2+2+0 =4

Passo 4

Vemos que det(A)=4>0. Logo, a base F tem a mesma orientação que a base E.

Resposta

Sim, as bases E e F têm a mesma orientação.

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