Exercício R.1.2.5. Um tubo de aço ( \mathrm{k}=35 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ) tem diâmetro externo de 3 ", espessura de 0,2 ", 150 m de comprimento e transporta amônia a -20^{\circ} \mathrm{C} ( convecção na película interna desprezível ). Para isolamento do tubo existem duas opções : isolamento de borracha \left(\mathrm{k}=0,13 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) de 3 " de espessura ou isolamento de isopor ( \mathrm{k}=0,24 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 2 " de espessura. Por razões de ordem técnica o máximo fluxo de calor não pode ultrapassar 7000 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h}. Sabendo que a temperatura na face externa do isolamento é 40^{\circ} \mathrm{C}, pede-se :
a) As resistências térmicas dos dois isolamentos;
b) Calcule o fluxo de calor para cada opção de isolante e diga qual isolamento deve ser usado;
c) Para o que não deve ser usado, calcule qual deveria ser a espessura mínima para atender o limite.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado (peguei estes valores do texto do problema):
  • Diâmetro externo do tubo: D_{ext,\text{tubo}} = 3''.
  • Espessura do tubo: e_{\text{tubo}} = 0,2''.
  • Comprimento do tubo: L = 150\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do fluido (amônia): T_i = -20^\circ\mathrm{C}.
  • A convecção na película interna é desprezível (ou seja, despreza-se resistência convectiva interna; a temperatura da parede interna do tubo será tomada igual à do fluido).
  • Temperatura na face externa do isolamento: T_o = 40^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do aço: k_{\text{aço}} = 35\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C})ç.
  • Duas opções de isolamento:
    • Borracha: k_{\text{rub}} = 0,13\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}), espessura t_{\text{rub}} = 3''.
    • Isopor: k_{\text{iso}} = 0,24\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}), espessura t_{\text{iso}} = 2''.
  • Limite máximo permitido do fluxo de calor: \dot{Q}_{\max}=7000\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
O enunciado pede:
a) As resistências térmicas dos dois isolamentos (isto é, a resistência de condução radial de cada camada isolante).
b) Calcular o fluxo de calor para cada opção de isolante e dizer qual deve ser usado (dado o limite de 7000\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}).
c) Para a opção que não deve ser usada, calcular a espessura mínima necessária para atender o limite.

Passo 2

Fórmulas e conceito que vamos usar (aula curta e limpa).
  • Para condução radial em um cilindro de comprimento L e condutividade k, a resistência térmica de condução entre raio interno r_i e raio externo r_o é
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right).
Explicação das variáveis:
  • R_{\text{cond}} tem unidades {}^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}/\mathrm{kcal}.
  • k é a condutividade térmica do material (nesta questão em \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C})).
  • L é o comprimento do cilindro (aqui 150\\ \mathrm{m}).
  • r_i e r_o são os raios interno e externo da camada considerada (em metros).
  • A expressão vem da solução da equação de calor em coordenadas cilíndricas para regime permanente e fluxo estacionário radial.
  • O fluxo térmico (módulo) atravessando a sequência de resistências é dado por
\dot{Q}=\frac{|T_i-T_o|}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}} é a soma das resistências em série ao longo do caminho térmico.
Observação prática: a resistência do tubo de aço é geralmente pequena (alta k), mas eu vou calculá-la e incluí-la no R_{\text{total}} para maior precisão. A resistência interna por convecção foi desprezada conforme enunciado.

Passo 3

Conversão de medidas e definição dos raios geométricos (mostrando contas para poder reproduzir na prova).
  • Conversão polegadas para metros: 1'' = 0,0254\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo do tubo (meio diâmetro externo):
r_2 = \frac{D_{ext,\text{tubo}}}{2} = \frac{3''}{2} = 1{,}5'' = 1{,}5\cdot 0{,}0254\\ \mathrm{m} = 0{,}0381\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do tubo e_{\text{tubo}} = 0{,}2'' = 0{,}2\cdot 0{,}0254\\ \mathrm{m} = 0{,}00508\\ \mathrm{m}.
    Logo o raio interno do tubo (superfície que troca calor com o fluido) é
r_1 = r_2 - e_{\text{tubo}} = 0{,}0381 - 0{,}00508 = 0{,}03302\\ \mathrm{m}.
  • Raios externos do isolamento:
    • Para borracha (espessura 3''):
t_{\text{rub}} = 3'' = 3\cdot 0{,}0254 = 0{,}0762\\ \mathrm{m}, \quad r_{3,\text{rub}} = r_2 + t_{\text{rub}} = 0{,}0381 + 0{,}0762 = 0{,}1143\\ \mathrm{m}.
  • Para isopor (espessura 2''):
t_{\text{iso}} = 2'' = 2\cdot 0{,}0254 = 0{,}0508\\ \mathrm{m}, \quad r_{3,\text{iso}} = r_2 + t_{\text{iso}} = 0{,}0381 + 0{,}0508 = 0{,}0889\\ \mathrm{m}.
Observação: usei r_1 para a face interna do aço (igual à temperatura do fluido pelo enunciado), r_2 para a face externa do tubo (início do isolamento) e r_3 para a face externa do isolamento (onde T_o é dada).

Passo 4

Calcular a resistência de condução do isolamento de borracha (parte a).
Usando \displaystyle R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right) com k_{\text{rub}}=0{,}13, r_i=r_2=0{,}0381\\ \mathrm{m}, r_o=r_{3,\text{rub}}=0{,}1143\\ \mathrm{m}, L=150\\ \mathrm{m}:
R_{\text{rub}}=\frac{1}{2\pi (0{,}13)(150)}\ln\!\left(\frac{0{,}1143}{0{,}0381}\right).
Calcule a razão \dfrac{0{,}1143}{0{,}0381}=3 e \ln 3 = 1{,}098612\ldots. O denominador é 2\pi\cdot 0{,}13\cdot150 = 39\pi \approx 122{,}522. Portanto
R_{\text{rub}} \approx \frac{1{,}098612}{122{,}522} \approx 0{,}008967\\ \left({}^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}/\mathrm{kcal}\right).

Passo 5

Calcular a resistência de condução do isolamento de isopor (parte a).
Com k_{\text{iso}}=0{,}24, r_i=r_2=0{,}0381\\ \mathrm{m}, r_o=r_{3,\text{iso}}=0{,}0889\\ \mathrm{m}:
R_{\text{iso}}=\frac{1}{2\pi (0{,}24)(150)}\ln\!\left(\frac{0{,}0889}{0{,}0381}\right).
Calcule a razão \dfrac{0{,}0889}{0{,}0381}\approx 2{,}333333 e \ln(2{,}333333)\approx 0{,}847298. O denominador é 2\pi\cdot0{,}24\cdot150 = 72\pi \approx 226{,}195. Portanto
R_{\text{iso}} \approx \frac{0{,}847298}{226{,}195} \approx 0{,}003746\\ \left({}^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}/\mathrm{kcal}\right).

Passo 6

Calcular a resistência de condução do tubo de aço (incluímos para precisão).
Com k_{\text{aço}}=35ç, r_i=r_1=0{,}03302\\ \mathrm{m}, r_o=r_2=0{,}0381\\ \mathrm{m}:
R_{\text{aço}}=\frac{1}{2\pi (35)(150)}\ln\!\left(\frac{0{,}0381}{0{,}03302}\right).ç
Calcule a razão \dfrac{0{,}0381}{0{,}03302}\approx 1{,}153996 e \ln(\cdot)\approx 0{,}14315. O denominador é 2\pi\cdot35\cdot150 = 10500\pi \approx 32986{,}722. Assim
R_{\text{aço}} \approx \frac{0{,}14315}{32986{,}722} \approx 0{,}00000434\\ \left({}^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}/\mathrm{kcal}\right).ç
Nota: este valor é muito pequeno comparado às resistências dos isolantes, mas somá‑lo é a forma correta.

Passo 7

Calcular os fluxos de calor para cada opção (parte b).
A diferença de temperatura entre fluido e face externa do isolamento é
|T_i-T_o| = |{-20} - 40| = 60\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Caso borracha:
R_{\text{tot,rub}} = R_{\text{aço}} + R_{\text{rub}} \approx 0{,}00000434 + 0{,}008967 \approx 0{,}008971.ç
\dot{Q}_{\text{rub}} = \frac{60}{R_{\text{tot,rub}}} \approx \frac{60}{0{,}008971} \approx 6689{,}3\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
  • Caso isopor:
R_{\text{tot,iso}} = R_{\text{aço}} + R_{\text{iso}} \approx 0{,}00000434 + 0{,}003746 \approx 0{,}003750.ç
\dot{Q}_{\text{iso}} = \frac{60}{R_{\text{tot,iso}}} \approx \frac{60}{0{,}003750} \approx 15998{,}4\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
Comparando com o limite \dot{Q}_{\max}=7000\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}:
  • \dot{Q}_{\text{rub}}\approx 6689{,}3 < 7000: dentro do limite.
  • \dot{Q}_{\text{iso}}\approx 15998{,}4 > 7000: ultrapassa o limite.
Logo a opção recomendada é o isolamento de borracha.

Passo 8

Para a opção que não deve ser usada (isopor), calcular a espessura mínima necessária para ter \dot{Q}\le 7000\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} (parte c).
Queremos R_{\text{tot,req}} \ge \dfrac{60}{7000} = 0{,}008571429. Subtraindo a resistência do aço:
R_{\text{iso,req}} = R_{\text{tot,req}} - R_{\text{aço}} \approx 0{,}008571429 - 0{,}00000434 = 0{,}00856709.ç
Para o isolamento de isopor temos
R_{\text{iso,req}} = \frac{1}{2\pi k_{\text{iso}} L}\ln\!\left(\frac{r_{o,\text{req}}}{r_2}\right).
Isolando o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{r_{o,\text{req}}}{r_2}\right) = 2\pi k_{\text{iso}} L \, R_{\text{iso,req}}.
Calcule o lado direito: 2\pi k_{\text{iso}} L = 2\pi\cdot 0{,}24\cdot150 \approx 226{,}195. Multiplicando por R_{\text{iso,req}}:
\ln\!\left(\frac{r_{o,\text{req}}}{r_2}\right) \approx 226{,}195 \times 0{,}00856709 \approx 1{,}93883.
Logo
\frac{r_{o,\text{req}}}{r_2} \approx e^{1{,}93883} \approx 6{,}9572, \qquad r_{o,\text{req}} \approx 6{,}9572 \times r_2 = 6{,}9572 \times 0{,}0381 \approx 0{,}26499\\ \mathrm{m}.
A espessura mínima de isopor necessária é
t_{\text{iso,req}} = r_{o,\text{req}} - r_2 \approx 0{,}26499 - 0{,}0381 = 0{,}22689\\ \mathrm{m}.
Converter para polegadas (se preferir a unidade usada no enunciado):
t_{\text{iso,req}} = \frac{0{,}22689}{0{,}0254} \approx 8{,}94''.
Portanto seriam necessários cerca de 8{,}94'' de isopor (muito mais que os 2'' propostos) para atender ao limite.

Resposta

a) R_{\text{rub}} \approx 0{,}008967\\ \left({}^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}/\mathrm{kcal}\right)
a) R_{\text{iso}} \approx 0{,}003746\\ \left({}^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}/\mathrm{kcal}\right)
b) \dot{Q}_{\text{rub}} \approx 6689{,}3\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} (aceitável)
b) \dot{Q}_{\text{iso}} \approx 15998{,}4\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h} (não aceitável)
Recomendação: usar o isolamento de borracha.
c) Espessura mínima de isopor necessária: t_{\text{iso,req}} \approx 0{,}2269\\ \mathrm{m} \approx 8{,}94''.

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