Exercício P.1.2.2. Um tubo de aço ( \mathrm{k}=35 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ) tem diâmetro externo de 3", espessura de 0,2", 150 m de comprimento e transporta amônia a -20^{\circ} \mathrm{C} ( convecção desprezível ). Para isolamento do tubo existem duas opções : isolamento de espuma de borracha \left(\mathrm{k}=0,13 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) de 3 " de espessura e isolamento de isopor ( \mathrm{k}=0,24 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} . \mathrm{oC} ) de 2 " de espessura. Por razões de ordem técnica o máximo fluxo de calor não pode ultrapassar 7000 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h}. Sabendo que a temperatura na face externa do isolamento é 40^{\circ} \mathrm{C}, pede-se :
a) As resistências térmicas dos isolantes;
b) Calcule o fluxo de calor para cada opção e diga qual isolamento deve ser usado;
c) Para o que não servir, calcule qual deveria ser a espessura mínima para atender o limite de fluxo de calor.

Passo 1

O enunciado (transformado em lista de dados úteis, com unidades SI onde necessário):
  • Tubo de aço:
    • condutividade térmica k_{\text{aço}} = 35\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)}ç.
    • diâmetro externo D_{\text{ext, aço}} = 3\\ \text{in}ç.
    • espessura da parede do aço e_{\text{aço}} = 0{,}2\\ \text{in}ç.
    • comprimento L = 150\\ \text{m}.
  • Fluido (amônia): temperatura T_{\text{amônia}} = -20^\circ\text{C}ô. (Convecção interna desprezível, logo a superfície interna do tubo está praticamente a -20^\circ\text{C}.)
  • Temperatura na face externa do isolamento: T_{\text{ext}} = 40^\circ\text{C}.
  • Opções de isolamento:
    1. Espuma de borracha: k_{\text{espuma}} = 0{,}13\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)}, espessura t_{\text{espuma}} = 3\\ \text{in}.
    2. Isopor: k_{\text{isopor}} = 0{,}24\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)}, espessura t_{\text{isopor}} = 2\\ \text{in}.
  • Limite máximo de fluxo térmico: \dot{Q}_{\max} = 7000\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Conversão de polegada para metro (usada abaixo): 1\\ \text{in} = 0{,}0254\\ \text{m}.
O que é pedido:
(a) calcular as resistências térmicas dos isolantes;
(b) calcular o fluxo de calor para cada opção e indicar qual isolamento satisfaz o limite;
(c) para o isolamento que não satisfizer, calcular a espessura mínima necessária.

Passo 2

Conceito e fórmula que usarei (aula rápida, passo a passo):
  • Para condução radial em uma casca cilíndrica homogênea (caso do isolamento envolvendo o tubo), a resistência térmica entre raios internos r_1 e externos r_2 é dada por
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L},
onde:
  • R_{\text{cond}} tem unidades \mathrm{^\circ C\cdot h / kcal} (temperatura sobre potência),
  • r_1 é o raio interno da casca (m),
  • r_2 é o raio externo da casca (m),
  • k é a condutividade térmica do material (em \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)}),
  • L é o comprimento do cilindro (m).
  • No nosso problema a cadeia térmica (da amônia para o exterior do isolamento) passa pela parede de aço e pelo isolamento (em série). Como a convecção interna é desprezível, a superfície interna do aço está praticamente a -20^\circ\text{C} e a superfície externa do isolamento está a 40^\circ\text{C}. Logo a diferença de temperatura que “atravessa” as resistências é
\Delta T = T_{\text{ext}} - T_{\text{amônia}} = 40 - (-20)=60^\circ\text{C}.ô
  • A potência térmica (fluxo de calor) é
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
com R_{\text{total}} = R_{\text{aço}} + R_{\text{isolamento}}ç.
Explico: vamos calcular R_{\text{isolamento}} para cada opção usando a fórmula da casca cilíndrica; também calculo R_{\text{aço}}ç e mostrarei que é desprezível, mas vou incluí-la no R_{\text{total}}.

Passo 3

Converter dimensões e calcular raios a usar nas fórmulas:
  • D_{\text{ext, aço}} = 3\\ \text{in} = 3\cdot 0{,}0254 = 0{,}0762\\ \text{m}ç. Logo raio externo do aço
r_{\text{aço,ext}}=\frac{D_{\text{ext, aço}}}{2}= \frac{0{,}0762}{2}=0{,}0381\\ \text{m}.çç
  • Espessura da parede do aço: e_{\text{aço}} = 0{,}2\\ \text{in} = 0{,}2\cdot 0{,}0254 = 0{,}00508\\ \text{m}ç. Logo raio interno do aço
r_{\text{aço,int}}=r_{\text{aço,ext}}-e_{\text{aço}}=0{,}0381-0{,}00508=0{,}03302\\ \text{m}.ççç
  • Para os isolamentos, o raio interno do isolamento é r_1=r_{\text{aço,ext}}=0{,}0381\\ \text{m}ç (assumimos que o isolamento é aplicado sobre a superfície externa do aço).
  • Espessuras dos isolantes em metros:
    • espuma: t_{\text{espuma}}=3\\ \text{in}=3\cdot0{,}0254=0{,}0762\\ \text{m}. Então raio externo da espuma r_{2,\text{espuma}}=0{,}0381+0{,}0762=0{,}1143\\ \text{m}.
    • isopor: t_{\text{isopor}}=2\\ \text{in}=2\cdot0{,}0254=0{,}0508\\ \text{m}. Então raio externo do isopor r_{2,\text{isopor}}=0{,}0381+0{,}0508=0{,}0889\\ \text{m}.

Passo 4

Cálculo das resistências térmicas pedidas (parte a):
  1. Resistência do isolamento de espuma (usar r_1=0{,}0381\\ \text{m}, r_2=0{,}1143\\ \text{m}, k=0{,}13\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)}, L=150\\ \text{m}):
Primeiro calcule \ln(r_2/r_1). Observação prática: aqui r_2/r_1=0{,}1143/0{,}0381=3, logo \ln(3).
Aplicando a fórmula:
R_{\text{espuma}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}1143}{0{,}0381}\right)}{2\pi\cdot 0{,}13\cdot 150} =\frac{\ln(3)}{2\pi\cdot 0{,}13\cdot 150}.
Número:
R_{\text{espuma}}\approx\frac{1{,}0986123}{2\pi\cdot19{,}5} =\frac{1{,}0986123}{122{,}5221}\approx 0{,}00897\\ \mathrm{^\circ C\cdot h / kcal}.
  1. Resistência do isolamento de isopor (usar r_2=0{,}0889\\ \text{m}, k=0{,}24):
Aqui r_2/r_1=0{,}0889/0{,}0381=7/3\approx 2{,}333333. Então
R_{\text{isopor}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}0889}{0{,}0381}\right)}{2\pi\cdot 0{,}24\cdot 150} =\frac{\ln\!\left(\tfrac{7}{3}\right)}{2\pi\cdot 36}.
Número:
R_{\text{isopor}}\approx\frac{0{,}8472979}{226{,}1947}\approx 0{,}00375\\ \mathrm{^\circ C\cdot h / kcal}.
  1. (Complemento útil) Resistência da parede de aço (mostrando que é desprezível):
R_{\text{aço}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{aço,ext}}}{r_{\text{aço,int}}}\right)}{2\pi k_{\text{aço}} L} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}0381}{0{,}03302}\right)}{2\pi\cdot 35\cdot150}.çççç
Número:
R_{\text{aço}}\approx\frac{0{,}1431}{32{,}986{,}722}\approx 4{,}3\times 10^{-6}\\ \mathrm{^\circ C\cdot h / kcal}.ç
Comentário: R_{\text{aço}}ç é muito menor que as resistências dos isolantes e, portanto, praticamente desprezível, mas será incluída nos somatórios para rigor.

Passo 5

Cálculo dos fluxos de calor para cada opção (parte b):
Temperatura diferencial: \Delta T=60^\circ\text{C}.
  1. Para a espuma:
R_{\text{total, espuma}}=R_{\text{aço}}+R_{\text{espuma}}\approx 4{,}3\times10^{-6}+0{,}00897\approx 0{,}0089743\\ \mathrm{^\circ C\cdot h / kcal}.ç
Fluxo:
\dot{Q}_{\text{espuma}}=\frac{60}{R_{\text{total, espuma}}} \approx\frac{60}{0{,}0089743}\approx 6689\\ \mathrm{kcal/h}.
  1. Para o isopor:
R_{\text{total, isopor}}=R_{\text{aço}}+R_{\text{isopor}}\approx 4{,}3\times10^{-6}+0{,}00375\approx 0{,}0037543\\ \mathrm{^\circ C\cdot h / kcal}.ç
Fluxo:
\dot{Q}_{\text{isopor}}=\frac{60}{R_{\text{total, isopor}}} \approx\frac{60}{0{,}0037543}\approx 15\,999\\ \mathrm{kcal/h}\\ (\approx 16{,}000\\ \mathrm{kcal/h}).
Comparação com o limite \dot{Q}_{\max}=7000\\ \mathrm{kcal/h}:
  • \dot{Q}_{\text{espuma}}\approx 6689\\ \mathrm{kcal/h}<7000 — atende ao limite.
  • \dot{Q}_{\text{isopor}}\approx 16{,}000\\ \mathrm{kcal/h}>7000 — não atende.
Portanto apenas a espuma (3") satisfaz o requisito.

Passo 6

Para o isolamento que não serve (isopor), calcular a espessura mínima t_{\min} tal que \dot{Q}\le 7000\\ \mathrm{kcal/h} (parte c).
  • Queremos R_{\text{total, desejado}}=\dfrac{\Delta T}{\dot{Q}_{\max}}=\dfrac{60}{7000}.
R_{\text{total, desejado}}=\frac{60}{7000}\approx 0{,}0085714286\\ \mathrm{^\circ C\cdot h / kcal}.
  • Como R_{\text{total}}=R_{\text{aço}}+R_{\text{isopor}}ç, precisamos de
R_{\text{isopor}}\ge R_{\text{total, desejado}}-R_{\text{aço}}.ç
Calcule o valor necessário para R_{\text{isopor}}:
R_{\text{isopor, req}}=0{,}0085714286-4{,}3\times10^{-6}\approx 0{,}0085671\\ \mathrm{^\circ C\cdot h / kcal}.
  • Para uma casca cilíndrica com condutividade k_{\text{isopor}}=0{,}24, comprimento L e raio interno r_1=0{,}0381, a relação entre r_2 e a resistência é
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=2\pi k_{\text{isopor}} L\; R_{\text{isopor, req}}.
Calcule o lado direito:
2\pi k_{\text{isopor}} L = 2\pi\cdot 0{,}24\cdot 150 \approx 226{,}1947,
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=226{,}1947\cdot 0{,}0085671\approx 1{,}93808.
Logo
\frac{r_2}{r_1}=\exp(1{,}93808)\approx 6{,}9430,
r_2\approx 0{,}0381\cdot 6{,}9430\approx 0{,}26464\\ \text{m}.
  • Espessura mínima do isopor:
t_{\min}=r_2-r_1\approx 0{,}26464-0{,}0381=0{,}22654\\ \text{m}\approx 22{,}65\\ \text{cm}.
Em polegadas:
t_{\min}\approx \frac{0{,}22654}{0{,}0254}\approx 8{,}92\\ \text{in}.
Interpretação prática: para que o isopor atenda ao limite de 7000\\ \mathrm{kcal/h} seria necessário quase 9 polegadas de espessura — muito maior do que os 2 in inicialmente propostos.

Resposta

(a) R_{\text{espuma}} \approx 0{,}00897\\ \mathrm{^\circ C\cdot h / kcal},\quad R_{\text{isopor}} \approx 0{,}00375\\ \mathrm{^\circ C\cdot h / kcal} (resistência da parede de aço R_{\text{aço}}\approx 4{,}3\times10^{-6}\\ \mathrm{^\circ C\cdot h / kcal}ç, desprezível).
(b) \dot{Q}_{\text{espuma}}\approx 6689\\ \mathrm{kcal/h},\quad \dot{Q}_{\text{isopor}}\approx 16{,}000\\ \mathrm{kcal/h}. Recomenda-se usar a espuma de borracha (3").
(c) Espessura mínima do isopor para \dot{Q}\le 7000\\ \mathrm{kcal/h}: t_{\min}\approx 0{,}2265\\ \text{m}\approx 22{,}65\\ \text{cm}\approx 8{,}92\\ \text{in}.

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