Exercício 4. A função custo total representa o custo final para produzir x unidades de um certo, e é denotada por C(x). Esta função tem duas componentes: o custo variável, que representa os gastos em matéria prima, mão de obra, entre outros; e o custo fixo do produto. Se a quantidade de unidades produzidas for zero, temos que C(0) \geq 0. Quando C(0) \neq 0, então C(0) representa o custo fixo de produção.
A função custo médio é denotada e definida por:
C M_{e}(x)=\frac{C(x)}{x}, x>0 .
Esta função representa o custo para produzir uma unidade do produto.
Suponha que a função do custo total seja dada por C(x)=2 x^{4}+12 x^{3}+9 x+30. Determine as funções de custo fixo, custo variável e custo médio. Calcule o custo para fabricar 10 unidades.

Passo 1

O enunciado nos dá a função custo total
C(x)=2x^{4}+12x^{3}+9x+30
e pede:
– o custo fixo, que é C(0) quando C(0)\neq0;
– o custo variável, definido por C_V(x)=C(x)-C(0);
– o custo médio, definido por
CM_{e}(x)=\frac{C(x)}{x},\quad x>0;
– e o valor de C(10).

Passo 2

Para obter o custo fixo calculamos
C(0)=2\cdot0^{4}+12\cdot0^{3}+9\cdot0+30=30.
Portanto, o custo fixo é 30.

Passo 3

O custo variável é
C_V(x)=C(x)-C(0)=\bigl(2x^{4}+12x^{3}+9x+30\bigr)-30=2x^{4}+12x^{3}+9x.

Passo 4

O custo médio é
CM_{e}(x)=\frac{C(x)}{x} =\frac{2x^{4}+12x^{3}+9x+30}{x} =2x^{3}+12x^{2}+9+\frac{30}{x}.

Passo 5

Para calcular o custo de produzir 10 unidades basta avaliar C(10):
C(10)=2\cdot10^{4}+12\cdot10^{3}+9\cdot10+30 =20000+12000+90+30=32120.

Resposta

O custo fixo é 30.
O custo variável é C_V(x)=2x^{4}+12x^{3}+9x.
O custo médio é
CM_{e}(x)=2x^{3}+12x^{2}+9+\frac{30}{x}.
O custo para fabricar 10 unidades é C(10)=32120.

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