Resolva as seguintes equações.
x^{3}-3 x+2=0, sabendo que uma das raízes é x=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação cúbica
x^{3}-3x+2=0
sabendo que uma das raízes é x=1. O conteúdo principal aqui é fatoração de polinômio usando divisão sintética ou divisão por x-1, seguido de solução de uma equação quadrática.

Passo 2

Como x=1 é raíz, dividimos x^{3}-3x+2 por (x-1). Usando divisão sintética com o valor 1:
coeficientes de x^{3}+0x^{2}-3x+2 são 1,\;0,\;-3,\;2.
Traçando a sintética:
\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & 2\\\ & & 1 & 1 & -2\\hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array}
O resto é zero e obtemos o quociente x^{2}+x-2.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática obtida:
x^{2}+x-2=0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 1^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9.
Logo as raízes são
x=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2} =\frac{-1\pm3}{2},
isto é, x=1 e x=-2.

Passo 4

Concluímos que as raízes de x^{3}-3x+2=0 são x=1 (com multiplicidade 2) e x=-2.

Resposta

As soluções são \;x=1 (raiz dupla) e \;x=-2.

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