Resolva as seguintes equações.
x^{4}-10 x^{3}+35 x^{2}-50 x+24=0, sabendo que duas das 4 raízes são x=1 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as quatro raízes do polinômio
x^{4}-10x^{3}+35x^{2}-50x+24=0
sabendo que já conhecemos duas delas x=1 e x=2. Vamos usar conteúdo de fatoração de polinômios com raízes conhecidas e divisão sintética para reduzir o grau do polinômio até chegar a uma equação quadrática.

Passo 2

Aplicamos divisão sintética pelo zero em x=1. Os coeficientes do polinômio são 1,\,-10,\,35,\,-50,\,24. Fazendo
\begin{array}{c|rrrrr} 1 & 1 & -10 & 35 & -50 & 24\\hline & & 1 & -9 & 26 & -24\\hline & 1 & -9 & 26 & -24 & 0 \end{array}
obtemos resto zero e o quociente em grau 3 de coeficientes 1,\,-9,\,26,\,-24. Logo o polinômio fatora como
(x-1)\bigl(x^{3}-9x^{2}+26x-24\bigr).

Passo 3

Agora dividimos o cubic x^{3}-9x^{2}+26x-24 por x-2 usando divisão sintética com raiz 2. Coeficientes 1,\,-9,\,26,\,-24:
\begin{array}{c|rrrr} 2 & 1 & -9 & 26 & -24\\hline & & 2 & -14 & 24\\hline & 1 & -7 & 12 & 0 \end{array}
o resto é zero e o quociente é o polinômio quadrático x^{2}-7x+12. Assim
x^{4}-10x^{3}+35x^{2}-50x+24=(x-1)(x-2)(x^{2}-7x+12).

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática
x^{2}-7x+12=0.
O discriminante é
\Delta = (-7)^{2}-4\cdot1\cdot12=49-48=1,
portanto as raízes são
x=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2} \;\Longrightarrow\; x=3 \quad\text{ou}\quad x=4.

Resposta

As raízes da equação são x=1, x=2, x=3 e x=4.

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