Exercício 4. A função custo total representa o custo final para produzir x unidades de um certo, e é denotada por C(x). Esta função tem duas componentes: o custo variável, que representa os gastos em matéria prima, mão de obra, entre outros; e o custo fixo do produto. Se a quantidade de unidades produzidas for zero, temos que C(0) \geq 0. Quando C(0) \neq 0, então C(0) representa o custo fixo de produção.
A função custo médio é denotada e definida por:
C M_{e}(x)=\frac{C(x)}{x}, x>0 .
Esta função representa o custo para produzir uma unidade do produto.
Uma empresa de distribuição de combustíveis necessita adquirir um caminhão tanque ao custo de 50000 reais. Estima-se que o custo operacional do caminhão é de 5 reais por quilômetro rodado. Ache a função custo total se ela for afim. Encontre também a função de custo médio.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado diz e o que queremos. Temos uma função custo total C(x) que é afim, ou seja, pode ser escrita como
C(x)=m\,x + b,
onde b=C(0) é o custo fixo e m é o custo variável por unidade. No nosso caso “unidade” significa “quilômetro rodado” pelo caminhão tanque. O enunciado informa:
  • Compra do caminhão: custo fixo de 50000 reais.
  • Custo operacional (variável): 5 reais por quilômetro.
    Pede-se determinar C(x) e o custo médio CM_e(x)=\tfrac{C(x)}{x}.

Passo 2

Identificar o custo fixo b. Como C(0) é o custo quando não se roda nenhum quilômetro, isso corresponde apenas à compra do caminhão. Logo
b = C(0) = 50000.

Passo 3

Identificar o custo variável m. Cada quilômetro rodado custa 5 reais, então
m = 5.

Passo 4

Montar a função custo total afim usando m e b. Assim
C(x) = 5\,x + 50000.

Passo 5

Obter a função de custo médio dividindo C(x) por x (para x>0):
CM_e(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{5\,x + 50000}{x} = 5 + \frac{50000}{x}.

Resposta

A função custo total é
C(x) = 5\,x + 50000
e a função custo médio é
CM_e(x) = 5 + \frac{50000}{x}.

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