Exercício 1 Seja f(x, y)=e^x arctg(y).
(a) Calcule a taxa de variação de f no ponto P(0,1), na direção e sentido do vetor P Q, em que Q(3,5).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^x,arctg(y)
e pede a derivada direcional de f no ponto P(0,1) na direção de Q(3,5).
Conteúdo: gradiente e derivada direcional. Vamos precisar de
  1. calcular nabla f(x,y),
  2. obter o vetor unitário na direção PQ,
  3. efetuar o produto escalar nabla f(P)cdot u.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em x é
partial fpartial x(x,y) =e^x,arctg(y)
e a derivada parcial em y é
partial fpartial y(x,y) =e^x,ddyl(arctg(y)r) =e^x,11+y^2
Logo,
nabla f(x,y) =gl(e^x,arctg(y),;e^x,11+y^2gr)

Passo 3

Avaliar o gradiente em P(0,1).
Temos e^0=1 e arctg(1)=pi/4, então
nabla f(0,1) =l(1cdottfracpi4,;1cdottfrac11+1^2r) =l(tfracpi4,;tfrac12r)

Passo 4

Encontrar o vetor unitário na direção de PQ.
O vetor PQ=(3-0,,5-1)=(3,4) tem norma
|PQ|=raiz3^2+4^2=5
Logo o vetor unitário é
u =15(3,4) =l(tfrac35,tfrac45r)

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto escalar
Duf(0,1) =nabla f(0,1)cdot u =l(tfracpi4,tfrac12r)cdotl(tfrac35,tfrac45r) =tfracpi4cdottfrac35+tfrac12cdottfrac45
Simplificando,
Duf(0,1) =3pi20+410 =3pi20+25 =3pi+820

Resposta

A derivada direcional de f em P(0,1) na direção de Q(3,5) é
boxed3pi+820

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