Exercício 1 Seja
.
(a) Calcule a taxa de variação de
no ponto
, na direção e sentido do vetor
, em que
Q(3,5) .
(a) Calcule a taxa de variação de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada direcional de
f no ponto
P(0,1) na direção de
Q(3,5) .
Conteúdo: gradiente e derivada direcional. Vamos precisar de
Conteúdo: gradiente e derivada direcional. Vamos precisar de
- calcular
,nabla f(x,y) - obter o vetor unitário na direção
,PQ - efetuar o produto escalar
.nabla f(P)cdot u
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
f .
A derivada parcial emx é
A derivada parcial em
e a derivada parcial em
y é
Logo,
Passo 3
Avaliar o gradiente em
P(0,1) .
Temose^0=1 e
arctg(1)=pi/4 , então
Temos
Passo 4
Encontrar o vetor unitário na direção de
PQ .
O vetorPQ=(3-0,,5-1)=(3,4) tem norma
O vetor
Logo o vetor unitário é
Passo 5
Calcular a derivada direcional como produto escalar
Simplificando,
Resposta
A derivada direcional de
f em
P(0,1) na direção de
Q(3,5) é