Exercício 1: Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem e de segunda ordem da função nos pontos
e
. A função fornecida é
Informações relevantes:
- Precisamos das derivadas parciais de primeira ordem:
e . - Precisamos das derivadas parciais de segunda ordem:
(e verificar que se for o caso). - Devemos avaliar todas essas derivadas nos pontos
e .
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é a derivada da função quando tratamos como constante. Analogamente, deriva tratando como constante. - Regras que vamos usar (lembrando e explicando):
- Regra da cadeia para exponencial: se
é função de , então
Aqui .
2. Regra do poder:.
3. Derivada de termo linear:quando derivamos em relação a (pois é constante). - Regra da cadeia para exponencial: se
Passo 3
Calcular
passo a passo:
Derivamos cada termo de em relação a
, tratando
como constante.
Derivamos cada termo de
-
(usei a regra da cadeia) -
(regra do poder) -
(derivada em de é 1, é constante) -
e
Portanto,
Passo 4
Calcular
passo a passo:
Derivamos cada termo em relação a , tratando
como constante.
Derivamos cada termo em relação a
-
-
(não depende de ). -
-
-
Portanto,
Passo 5
Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem. Explico: para
derivamos
em relação a
; para
derivamos
em relação a
; e para
derivamos
em relação a
. Como
é composta por funções exponenciais polinomiais (tudo suave), esperamos que
.
Calcule
:
- De
, derive em : -
-
-
Logo,
-
Passo 6
Calcule
(derivada de
em relação a
):
- De
, derive em : -
-
-
Assim,
-
Observação rápida: se calcularmos
a partir de
obteremos o mesmo resultado (simetria), mas já adiantamos que sim.
Passo 7
Calcule
(derivada de
em relação a
):
- De
, derive em : -
-
-
Portanto,
-
Passo 8
Agora vamos avaliar todas essas expressões nos pontos dados. Primeiro calculemos a quantidade comum
em cada ponto:
-
Em
: então -
Em
: então
Passo 9
Substituições em
. Usando
:
Passo 10
Substituições em
. Usando
: