Exercício 1: Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos (1,4) e (-3, 2):
f(x, y)=e^{3 x+2 y}-5 x^{2}-7 x y+2 y^{3}+12

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem e de segunda ordem da função nos pontos (1,4) e (-3,2). A função fornecida é
f(x,y)=e^{3x+2y}-5x^{2}-7xy+2y^{3}+12.
Informações relevantes:
  • Precisamos das derivadas parciais de primeira ordem: \displaystyle f_x e \displaystyle f_y.
  • Precisamos das derivadas parciais de segunda ordem: \displaystyle f_{xx},\,f_{xy},\,f_{yy} (e verificar que \displaystyle f_{xy}=f_{yx} se for o caso).
  • Devemos avaliar todas essas derivadas nos pontos (1,4) e (-3,2).

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \displaystyle f_x, é a derivada da função quando tratamos y como constante. Analogamente, \displaystyle f_y deriva tratando x como constante.
  • Regras que vamos usar (lembrando e explicando):
    1. Regra da cadeia para exponencial: se u(x,y) é função de x,y, então
    \frac{\partial}{\partial x} e^{u(x,y)} = e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.Aqui \displaystyle u(x,y)=3x+2y.
    2. Regra do poder: \displaystyle \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}.
    3. Derivada de termo linear: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(a\,x\,y)=a\,y quando derivamos em relação a x (pois y é constante).

Passo 3

Calcular \displaystyle f_x passo a passo:
Derivamos cada termo de f(x,y) em relação a x, tratando y como constante.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} e^{3x+2y} = e^{3x+2y}\cdot \frac{\partial}{\partial x}(3x+2y) = e^{3x+2y}\cdot 3 = 3e^{3x+2y}. (usei a regra da cadeia)
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(-5x^2) = -10x. (regra do poder)
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(-7xy) = -7y. (derivada em x de x é 1, y é constante)
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(2y^3)=0 e \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(12)=0.
Portanto,
f_x(x,y)=3e^{3x+2y}-10x-7y.

Passo 4

Calcular \displaystyle f_y passo a passo:
Derivamos cada termo em relação a y, tratando x como constante.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} e^{3x+2y} = e^{3x+2y}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(3x+2y) = e^{3x+2y}\cdot 2 = 2e^{3x+2y}.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(-5x^2)=0 (não depende de y).
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(-7xy) = -7x.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(2y^3)=6y^2.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(12)=0.
Portanto,
f_y(x,y)=2e^{3x+2y}-7x+6y^2.

Passo 5

Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem. Explico: para f_{xx} derivamos f_x em relação a x; para f_{xy} derivamos f_x em relação a y; e para f_{yy} derivamos f_y em relação a y. Como f é composta por funções exponenciais polinomiais (tudo suave), esperamos que f_{xy}=f_{yx}.
Calcule f_{xx}:
  • De f_x=3e^{3x+2y}-10x-7y, derive em x:
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(3e^{3x+2y}) = 3\cdot e^{3x+2y}\cdot 3 = 9e^{3x+2y}.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(-10x)=-10.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(-7y)=0.
      Logo,
f_{xx}(x,y)=9e^{3x+2y}-10.

Passo 6

Calcule f_{xy} (derivada de f_x em relação a y):
  • De f_x=3e^{3x+2y}-10x-7y, derive em y:
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(3e^{3x+2y})=3\cdot e^{3x+2y}\cdot 2 = 6e^{3x+2y}.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(-10x)=0.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(-7y)=-7.
      Assim,
f_{xy}(x,y)=6e^{3x+2y}-7.
Observação rápida: se calcularmos f_{yx} a partir de f_y obteremos o mesmo resultado (simetria), mas já adiantamos que sim.

Passo 7

Calcule f_{yy} (derivada de f_y em relação a y):
  • De f_y=2e^{3x+2y}-7x+6y^2, derive em y:
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(2e^{3x+2y})=2\cdot e^{3x+2y}\cdot 2 = 4e^{3x+2y}.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(-7x)=0.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(6y^2)=12y.
      Portanto,
f_{yy}(x,y)=4e^{3x+2y}+12y.

Passo 8

Agora vamos avaliar todas essas expressões nos pontos dados. Primeiro calculemos a quantidade comum e^{3x+2y} em cada ponto:
  • Em (1,4):
    3x+2y = 3\cdot 1 + 2\cdot 4 = 3 + 8 = 11,
    então e^{3x+2y}=e^{11}.
  • Em (-3,2):
    3x+2y = 3\cdot(-3) + 2\cdot 2 = -9 + 4 = -5,
    então e^{3x+2y}=e^{-5}.

Passo 9

Substituições em (1,4). Usando e^{3x+2y}=e^{11}:
  • \displaystyle f_x(1,4)=3e^{11}-10\cdot 1 -7\cdot 4 = 3e^{11}-10-28 = 3e^{11}-38.
  • \displaystyle f_y(1,4)=2e^{11}-7\cdot 1 +6\cdot 4^{2} = 2e^{11}-7+6\cdot 16 = 2e^{11}-7+96 = 2e^{11}+89.
  • \displaystyle f_{xx}(1,4)=9e^{11}-10.
  • \displaystyle f_{xy}(1,4)=6e^{11}-7.
  • \displaystyle f_{yy}(1,4)=4e^{11}+12\cdot 4 = 4e^{11}+48.

Passo 10

Substituições em (-3,2). Usando e^{3x+2y}=e^{-5}:
  • \displaystyle f_x(-3,2)=3e^{-5}-10\cdot (-3) -7\cdot 2 = 3e^{-5}+30-14 = 3e^{-5}+16.
  • \displaystyle f_y(-3,2)=2e^{-5}-7\cdot (-3) +6\cdot 2^{2} = 2e^{-5}+21+6\cdot 4 = 2e^{-5}+21+24 = 2e^{-5}+45.
  • \displaystyle f_{xx}(-3,2)=9e^{-5}-10.
  • \displaystyle f_{xy}(-3,2)=6e^{-5}-7.
  • \displaystyle f_{yy}(-3,2)=4e^{-5}+12\cdot 2 = 4e^{-5}+24.

Resposta

\displaystyle f_x(1,4)=3e^{11}-38
\displaystyle f_y(1,4)=2e^{11}+89
\displaystyle f_{xx}(1,4)=9e^{11}-10
\displaystyle f_{xy}(1,4)=6e^{11}-7
\displaystyle f_{yy}(1,4)=4e^{11}+48
\displaystyle f_x(-3,2)=3e^{-5}+16
\displaystyle f_y(-3,2)=2e^{-5}+45
\displaystyle f_{xx}(-3,2)=9e^{-5}-10
\displaystyle f_{xy}(-3,2)=6e^{-5}-7
\displaystyle f_{yy}(-3,2)=4e^{-5}+24

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