Exercício 4. Sejam X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} variáveis aleatórias. Muitas vezes, é interessante realizar um estudo destas variáveis conjuntamente, e não apenas de cada variável individualmente. Nestas situações, é comum utilizar-se o conceito de covariância para se verificar o tipo de associação entre pares de variáveis. Para isso, costuma-se definir a matriz de covariância \Sigma da variável aleatória n-dimensional \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right) da seguinte forma:
\Sigma=\left[\begin{array}{cccc} \operatorname{Var}\left(X_{1}\right) & \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) & \cdots & \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{n}\right) \\\ \operatorname{Cov}\left(X_{2}, X_{1}\right) & \operatorname{Var}\left(X_{2}\right) & \cdots & \operatorname{Cov}\left(X_{2}, X_{n}\right) \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ \operatorname{Cov}\left(X_{n}, X_{1}\right) & \operatorname{Cov}\left(X_{n}, X_{2}\right) & \cdots & \operatorname{Var}\left(X_{n}\right) \end{array}\right]
(note que \Sigma é simétrica). Para \mathrm{n}=4, considere a matriz de covariância:
\Sigma=\left[\begin{array}{cccc} 25 & -3 & 2 & 2 \\\\ -3 & 36 & 2 & 0 \\\\ 2 & 2 & 100 & 2 \\\\ 2 & 0 & 2 & 400 \end{array}\right]
Determine:
(a) Quais variáveis aleatórias (par de variáveis aleatórias) apresentam coeficiente de correlação negativo?
(b) Quais variáveis são não-correlacionadas?
(c) Quais variáveis (par de variáveis) apresentam maior coeficiente de correlação?
(d) Calcule o coeficiente de correlação entre X1 e (X2 + X3)/2.
(e) Obtenha a matriz de correlação.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz de covariância de quatro variáveis aleatórias \bigl(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\bigr):
\Sigma=\begin{pmatrix} 25 & -3 & 2 & 2\\\\ -3 & 36 & 2 & 0\\\\ 2 & 2 & 100 & 2\\\\ 2 & 0 & 2 & 400 \end{pmatrix}
e pede:
(a) pares com coeficiente de correlação negativo;
(b) pares não correlacionados;
(c) par com maior coeficiente de correlação;
(d) \rho\bigl(X_{1},(X_{2}+X_{3})/2\bigr);
(e) a matriz de correlação.
O conteúdo utilizado será o cálculo de desvio-padrão, definição de coeficiente de correlação e manipulação de variáveis lineares.

Passo 2

Calcular o desvio-padrão de cada X_{i} a partir de \operatorname{Var}(X_{i}):
\sigma_{1}=\sqrt{25}=5,\quad \sigma_{2}=\sqrt{36}=6,\quad \sigma_{3}=\sqrt{100}=10,\quad \sigma_{4}=\sqrt{400}=20.

Passo 3

Definimos o coeficiente de correlação
\rho_{ij} =\frac{\operatorname{Cov}(X_{i},X_{j})}{\sigma_{i}\,\sigma_{j}}.
Usando \Sigma, obtemos:
\rho_{12}=\frac{-3}{5\cdot6}=-\tfrac{1}{10}=-0{,}1,\quad \rho_{13}=\frac{2}{5\cdot10}=\tfrac{1}{25}=0{,}04,
\rho_{14}=\frac{2}{5\cdot20}=\tfrac{1}{50}=0{,}02,\quad \rho_{23}=\frac{2}{6\cdot10}=\tfrac{1}{30}\approx0{,}0333,
\rho_{24}=\frac{0}{6\cdot20}=0,\quad \rho_{34}=\frac{2}{10\cdot20}=\tfrac{1}{100}=0{,}01.

Passo 4

(a) coeficientes de correlação negativos são aqueles \rho_{ij}<0. O único caso é \rho_{12}=-0{,}1.
Portanto, X_{1} e X_{2} têm correlação negativa.

Passo 5

(b) variáveis não correlacionadas têm \rho_{ij}=0. O único caso é \rho_{24}=0, ou seja, X_{2} e X_{4}.

Passo 6

(c) procuramos o maior valor de \rho_{ij}. Dos positivos, o maior é \rho_{13}=0{,}04.
Logo, X_{1} e X_{3} apresentam o maior coeficiente de correlação.

Passo 7

(d) seja Y=(X_{2}+X_{3})/2. Primeiro calculamos
\operatorname{Cov}(X_{1},Y) =\frac{\operatorname{Cov}(X_{1},X_{2})+\operatorname{Cov}(X_{1},X_{3})}{2} =\frac{-3+2}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Em seguida,
\operatorname{Var}(Y) =\frac{1}{4}\Bigl[\operatorname{Var}(X_{2})+\operatorname{Var}(X_{3}) +2\,\operatorname{Cov}(X_{2},X_{3})\Bigr] =\frac{1}{4}\bigl(36+100+4\bigr)=35,
logo \sigma_{Y}=\sqrt{35}. Assim,
\rho\bigl(X_{1},Y\bigr) =\frac{\operatorname{Cov}(X_{1},Y)}{\sigma_{1}\,\sigma_{Y}} =\frac{-\tfrac12}{5\,\sqrt{35}} =-\frac{1}{10\sqrt{35}}\approx-0{,}0169.

Passo 8

(e) a matriz de correlação R=(\rho_{ij}) é
R = \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{25} & \tfrac{1}{50}\\[6pt] -\tfrac{1}{10} & 1 & \tfrac{1}{30} & 0\\[6pt] \tfrac{1}{25} & \tfrac{1}{30} & 1 & \tfrac{1}{100}\\[6pt] \tfrac{1}{50} & 0 & \tfrac{1}{100} & 1 \end{pmatrix}
onde cada entrada \rho_{ij} foi calculada no Passo 3.]

Resposta

(a) X_{1} e X_{2}.
(b) X_{2} e X_{4}.
(c) X_{1} e X_{3}.
(d) \rho(X_{1},(X_{2}+X_{3})/2)=-\tfrac{1}{10\sqrt{35}}\approx-0{,}0169.
(e) R=\begin{pmatrix} 1 & -0{,}1 & 0{,}04 & 0{,}02\\\\ -0{,}1 & 1 & 0{,}0333 & 0\\\\ 0{,}04 & 0{,}0333 & 1 & 0{,}01\\\\ 0{,}02 & 0 & 0{,}01 & 1 \end{pmatrix}.

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