Exercício 4. Sejam X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} variáveis aleatórias. Muitas vezes, é interessante realizar um estudo destas variáveis conjuntamente, e não apenas de cada variável individualmente. Nestas situações, é comum utilizar-se o conceito de covariância para se verificar o tipo de associação entre pares de variáveis. Para isso, costuma-se definir a matriz de covariância \Sigma da variável aleatória n-dimensional \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right) da seguinte forma:
Determine:
(a) Quais variáveis aleatórias (par de variáveis aleatórias) apresentam coeficiente de correlação negativo?
(b) Quais variáveis são não-correlacionadas?
(c) Quais variáveis (par de variáveis) apresentam maior coeficiente de correlação?
(d) Calcule o coeficiente de correlação entre X1 e (X2 + X3)/2.
(e) Obtenha a matriz de correlação.
Passo 1
O enunciado fornece a matriz de covariância de quatro variáveis aleatórias \bigl(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\bigr):
e pede:
(a) pares com coeficiente de correlação negativo;
(b) pares não correlacionados;
(c) par com maior coeficiente de correlação;
(d) \rho\bigl(X_{1},(X_{2}+X_{3})/2\bigr);
(e) a matriz de correlação.
O conteúdo utilizado será o cálculo de desvio-padrão, definição de coeficiente de correlação e manipulação de variáveis lineares.
Passo 2
Calcular o desvio-padrão de cada X_{i} a partir de \operatorname{Var}(X_{i}):
(a) coeficientes de correlação negativos são aqueles \rho_{ij}<0. O único caso é \rho_{12}=-0{,}1.
Portanto, X_{1} e X_{2} têm correlação negativa.
Passo 5
(b) variáveis não correlacionadas têm \rho_{ij}=0. O único caso é \rho_{24}=0, ou seja, X_{2} e X_{4}.
Passo 6
(c) procuramos o maior valor de \rho_{ij}. Dos positivos, o maior é \rho_{13}=0{,}04.
Logo, X_{1} e X_{3} apresentam o maior coeficiente de correlação.