Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Matriz inversa e determinante.
Como determinar os “sinais” que aparecem no método dos cofatores?

Passo 1

O enunciado quer saber como surgem os “sinais” no cálculo dos cofatores quando usamos o método da matriz adjunta para inverter ou calcular determinantes. O conteúdo aqui é o de menores (ou minors) e cofatores de uma matriz, que vamos precisar para formar a matriz de cofatores e, daí, a adjunta.

Passo 2

Para cada elemento aij de uma matriz quadrada, definimos o menor Mij como o determinante da submatriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j. O cofactor Cij é então esse menor multiplicado por um fator de sinal:
Cij = (-1)^,i+j,Mij

Passo 3

O fator de sinal (-1)^,i+j indica que, se a soma dos índices i+j for par, o cofactor é positivo, e se for ímpar, o cofactor é negativo. Isso gera o famoso padrão “tabuleiro de xadrez”, por exemplo numa matriz 3times3:
+ & - & + - & + & - + & - & +
onde cada posição (i,j) carrega sinal + se i+j é par e sinal se i+j é ímpar.

Resposta

O sinal do cofactor Cij é dado por
(-1)^,i+j,
ou seja, positivo quando i+j é par e negativo quando i+j é ímpar.

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