Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Matriz inversa e determinante.
Qual a relação entre determinantes e a existência da inversa de uma matriz?
Qual a relação entre determinantes e a existência da inversa de uma matriz?
Passo 1
O enunciado pede para descobrir como o valor do determinante de uma matriz quadrada
interfere na existência da sua inversa. O conteúdo é Álgebra Linear, especificamente a relação entre determinante e inversibilidade de matrizes.
Passo 2
Primeiro, lembramos a definição de matriz singular ou não singular. Uma matriz quadrada
é dita singular se
e não singular se
Essa classificação já indica que apenas matrizes não singulares podem ter inversa, pois uma singular não satisfaz certas propriedades essenciais para inversão.
Passo 3
Agora, mostramos a construção da inversa quando
. Vale o teorema que diz
onde
é a matriz adjunta de
e
a matriz identidade. Dividindo ambos os lados por
, obtemos
logo
Isso mostra de forma construtiva que sempre que
, a inversa existe e é dada por essa fórmula.
Passo 4
Para ver por que não há inversa se
, suponha que existisse
tal que
Fazendo determinante em ambos os lados, teríamos
Mas se
, o produto
seria zero, o que contradiz o fato de ser
. Portanto, nenhuma matriz com determinante nulo pode ter inversa.
Resposta
Uma matriz quadrada
é invertível se, e somente se,
Em particular, se
então
e se
então
não possui inversa.