Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Matriz inversa e determinante.
Qual a relação entre determinantes e a existência da inversa de uma matriz?

Passo 1

O enunciado pede para descobrir como o valor do determinante de uma matriz quadrada A interfere na existência da sua inversa. O conteúdo é Álgebra Linear, especificamente a relação entre determinante e inversibilidade de matrizes.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de matriz singular ou não singular. Uma matriz quadrada A é dita singular se
det(A)=0
e não singular se
det(A)neq 0
Essa classificação já indica que apenas matrizes não singulares podem ter inversa, pois uma singular não satisfaz certas propriedades essenciais para inversão.

Passo 3

Agora, mostramos a construção da inversa quando det(A)neq 0. Vale o teorema que diz
A;adj(A)=det(A),I,
onde adj(A) é a matriz adjunta de A e I a matriz identidade. Dividindo ambos os lados por det(A), obtemos
Al(tfrac1det(A),adj(A)r)=I,
logo
A^-1=1det(A),adj(A)
Isso mostra de forma construtiva que sempre que det(A)neq 0, a inversa existe e é dada por essa fórmula.

Passo 4

Para ver por que não há inversa se det(A)=0, suponha que existisse X tal que
AX=I
Fazendo determinante em ambos os lados, teríamos
det(A),det(X)=det(I)=1
Mas se det(A)=0, o produto det(A),det(X) seria zero, o que contradiz o fato de ser 1. Portanto, nenhuma matriz com determinante nulo pode ter inversa.

Resposta

Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se,
det(A)neq 0
Em particular, se det(A)neq 0 então
A^-1=1det(A),adj(A),
e se det(A)=0 então A não possui inversa.

Exercícios relacionados