Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Ponto, reta e plano:
Classifique as posições relativas entre um ponto e um plano no espaço e descreva a distância entre esses objetos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Classificar as posições relativas possíveis entre um ponto e um plano no espaço.
  • Descrever a distância entre esse ponto e o plano (como se define e como calcular na prática).
Informações implícitas que vou usar (nenhuma extra foi pedida, são convenções usuais):
  • Um ponto no espaço será denotado por P(x_0,y_0,z_0).
  • Um plano será representado pela equação geral
ax+by+cz+d=0,
onde \mathbf{n}=(a,b,c) é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular a ele).

Passo 2

Primeira classificação (casos possíveis): há exatamente duas posições relativas entre um ponto P e um plano dado:
  • O ponto pertence ao plano.
  • O ponto não pertence ao plano (fica “fora” do plano).
Não existe nenhum outro caso: um ponto ou satisfaz a equação do plano (está no plano) ou não satisfaz (está fora).

Passo 3

Como verificar algebraicamente se o ponto pertence ao plano:
  • Substitui-se as coordenadas do ponto na equação do plano. Se, ao substituir x=x_0, y=y_0, z=z_0, a igualdade for verdadeira, então o ponto está no plano; caso contrário, não está.
    Ou seja, P está no plano se, e somente se,
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 0.
Explicando: a equação do plano é exatamente a condição que descreve todos os pontos que pertencem a ele.

Passo 4

Definição geométrica da distância entre um ponto e um plano:
  • Se o ponto pertence ao plano, a distância é 0.
  • Se o ponto não pertence ao plano, a distância é o comprimento do segmento mais curto que liga o ponto ao plano. Geometricamente, esse segmento mínimo é sempre o segmento perpendicular ao plano (ou seja, ao longo da direção do vetor normal \mathbf{n}). Em outras palavras, a menor distância é a distância ao longo da normal.
Motivação intuitiva: entre todos os segmentos que ligam P a pontos do plano, o de menor comprimento é aquele que faz um ângulo reto com o plano — qualquer outro segmento pode ser “projetado” na direção normal para ficar menor.

Passo 5

Expressando isso com vetores: escolha um ponto P_1(x_1,y_1,z_1) qualquer que esteja no plano (pode-se obtê-lo por inspeção ou resolver), e considere o vetor
\vec{v}=\overrightarrow{P_1P}= (x_0-x_1,\; y_0-y_1,\; z_0-z_1).
O comprimento da projeção de \vec{v} sobre o vetor normal \mathbf{n} é a distância (em valor absoluto). A fórmula da projeção escalar é
\text{dist} = \frac{|\vec{v}\cdot \mathbf{n}|}{\|\mathbf{n}\|}.

Passo 6

Derivação prática da fórmula final (passo a passo simples):
  • A equação do plano pode ser escrita como \mathbf{n}\cdot \mathbf{r}+d=0, onde \mathbf{r}=(x,y,z).
  • Para o ponto P(x_0,y_0,z_0) substituímos e obtemos o valor escalar S=a x_0 + b y_0 + c z_0 + d.
  • Esse S representa, up to sign, o produto escalar entre \mathbf{n} e o vetor de qualquer ponto do plano até P. A distância é o valor absoluto dessa quantidade dividido pelo comprimento de \mathbf{n}.
    Portanto a fórmula fechada e muito usada é
\boxed{\text{dist}\big(P,\text{plano}\big)=\dfrac{\big|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\big|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.}

Passo 7

Explicação minuciosa do que cada símbolo significa:
  • a,b,c,d são os coeficientes da equação do plano ax+by+cz+d=0.
  • x_0,y_0,z_0 são as coordenadas do ponto P.
  • |\cdot| é o valor absoluto (a distância é sempre não negativa).
  • \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\|\mathbf{n}\| é o módulo (comprimento) do vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c).

Passo 8

Fórmula do ponto mais próximo (pé da perpendicular) — útil na prática e às vezes pedida na prova:
  • A coordenada do ponto Q do plano que é mais próximo de P (ou seja, a projeção ortogonal de P no plano) é dada por
Q = P - \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 + d}{a^2+b^2+c^2}\,\mathbf{n}.
Aqui o numerador pode ser negativo; isso apenas dá a direção correta ao deslocamento. Se precisar do comprimento da distância, toma-se o valor absoluto do numerador e divide-se por \sqrt{a^2+b^2+c^2} como na fórmula anterior.

Passo 9

Exemplo numérico rápido (para ver como aplicar sem mistério):
  • Seja o plano 2x - y + 2z - 3 = 0 e o ponto P(1,2,0). Então \mathbf{n}=(2,-1,2).
  • Calcule S = 2\cdot1 + (-1)\cdot2 + 2\cdot0 -3 = 2-2-3 = -3.
  • Comprimento de \mathbf{n}: \sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
  • Distância: \displaystyle \frac{|S|}{\|\mathbf{n}\|}=\frac{|-3|}{3}=1.
  • Pé da perpendicular: Q = (1,2,0) - \dfrac{-3}{9}(2,-1,2) = (1,2,0) + \tfrac{1}{3}(2,-1,2) = \big(\tfrac{5}{3},\tfrac{5}{3},\tfrac{2}{3}\big), que de fato satisfaz a equação do plano.

Passo 10

Dicas para a prova (práticas e rápidas):
  • Primeiro teste: substitua o ponto na equação do plano. Se der zero, distância é zero e pronto.
  • Se não for zero, aplique a fórmula direta \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. Memorize essa fórmula: ela resolve a maior parte das questões.
  • Se pedir também o ponto mais próximo, use a fórmula do pé Q do Passo 8.
  • Evite erros de sinais: compute o numerador ax_0+by_0+cz_0+d com calma; o valor pode ser negativo — por isso o valor absoluto na distância.

Resposta

  • Ponto no plano se, e somente se, a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 0; caso contrário o ponto está fora do plano.
  • A distância entre P(x_0,y_0,z_0) e o plano ax+by+cz+d=0 é
\text{dist}=\dfrac{\big|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\big|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

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