Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Produtos vetorial e misto.
Qual a aplicação do módulo do produto misto entre três vetores?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a aplicação do módulo do produto misto entre três vetores. As informações relevantes são:
Existem três vetores quaisquer \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c}.
Quer-se saber para que serve o valor numérico \bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr|.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que são produto vetorial e produto escalar (vou explicar devagar, como se estivéssemos resolvendo juntos na prova).
Produto vetorial: para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^3, o vetor \mathbf{u}\times\mathbf{v} é perpendicular ao plano de \mathbf{u} e \mathbf{v} e tem módulo igual à área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}. Em fórmulas:
\text{área do paralelogramo gerado por }\mathbf{u},\mathbf{v} = \bigl|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr|.á
Produto escalar: para \mathbf{p} e \mathbf{q}, o número \mathbf{p}\cdot\mathbf{q} mede a projeção: \mathbf{p}\cdot\mathbf{q} = \|\mathbf{p}\|\,\|\mathbf{q}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles.
Passo 3
Definição do produto misto (produto escalar misto):
Este é um número real (pode ser positivo, negativo ou zero). Uma propriedade útil para cálculo é que esse número é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}:
Interpretação geométrica do módulo do produto misto (essa é a aplicação principal; vou demonstrar passo a passo):
Considere o paralelogramo base gerado por \mathbf{b} e \mathbf{c}. A sua área é \bigl|\mathbf{b}\times\mathbf{c}\bigr|.
A direção normal a esse paralelogramo é dada por \mathbf{b}\times\mathbf{c}. A altura do paralelogramo até o ponto determinado por \mathbf{a} (ou seja, a projeção de \mathbf{a} nesse normal) vale
logo o volume do paralelepípedo é 1 (faz sentido: é o cubo unitário).
Observação relacionada: o volume do tetraedro formado pelos três vetores saindo da mesma origem é \tfrac{1}{6} do volume do paralelepípedo, ou seja
\text{volume do tetraedro} = \frac{1}{6}\bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr|.
Passo 6
Outras aplicações práticas e observações que caem em prova (vou listar e explicar curtinho):
Teste de coplanaridade: se \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=0 então os três vetores são coplanares (volume zero). Muito usado para verificar linearmente dependência em \mathbb{R}^3.
Orientação: o sinal do produto misto (positivo ou negativo) indica se a tripla (\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) é de mão direita (positivo) ou de mão esquerda (negativo). Em provas, isso aparece em problemas de orientação de bases.
Álgebra linear / cálculo: \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) é o determinante das componentes — aparece como Jacobiano em mudanças de variáveis e para checar se vetores formam base (determinante não nulo).
Física e geometria: aparece em expressões envolvendo volumes, fluxo orientado e em identidades vetoriais úteis (por exemplo, em dinâmica e eletromagnetismo).
Passo 7
Como calcular na prova (receita rápida para não errar):
Método 1 (determinante): escreva as componentes e calcule o determinante 3\times3.
Método 2 (cross então dot): calcule \mathbf{b}\times\mathbf{c} e depois faça \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). Use o módulo ao final se pedirem volume.
Dica: se der zero, já conclui coplanaridade; se pedirem volume, entregue \bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr|; se pedirem tetraedro, divida por 6.
Resposta
O módulo do produto misto \bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr| dá o volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}; com isso serve também para calcular volumes (paralelepípedo e, dividido por 6, o tetraedro), testar coplanaridade (zero) e corresponde ao determinante/Jacobiano nas coordenadas.