Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Produtos vetorial e misto.
Qual a aplicação do módulo do produto misto entre três vetores?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a aplicação do módulo do produto misto entre três vetores. As informações relevantes são:
  • Existem três vetores quaisquer \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c}.
  • Quer-se saber para que serve o valor numérico \bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr|.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que são produto vetorial e produto escalar (vou explicar devagar, como se estivéssemos resolvendo juntos na prova).
  • Produto vetorial: para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^3, o vetor \mathbf{u}\times\mathbf{v} é perpendicular ao plano de \mathbf{u} e \mathbf{v} e tem módulo igual à área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}. Em fórmulas:
\text{área do paralelogramo gerado por }\mathbf{u},\mathbf{v} = \bigl|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr|.á
  • Produto escalar: para \mathbf{p} e \mathbf{q}, o número \mathbf{p}\cdot\mathbf{q} mede a projeção: \mathbf{p}\cdot\mathbf{q} = \|\mathbf{p}\|\,\|\mathbf{q}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Definição do produto misto (produto escalar misto):
\text{produto misto} = \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).
Este é um número real (pode ser positivo, negativo ou zero). Uma propriedade útil para cálculo é que esse número é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\\ b_1 & b_2 & b_3\\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Interpretação geométrica do módulo do produto misto (essa é a aplicação principal; vou demonstrar passo a passo):
  • Considere o paralelogramo base gerado por \mathbf{b} e \mathbf{c}. A sua área é \bigl|\mathbf{b}\times\mathbf{c}\bigr|.
  • A direção normal a esse paralelogramo é dada por \mathbf{b}\times\mathbf{c}. A altura do paralelogramo até o ponto determinado por \mathbf{a} (ou seja, a projeção de \mathbf{a} nesse normal) vale
\text{altura} = \frac{\bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr|}{\bigl|\mathbf{b}\times\mathbf{c}\bigr|}.
  • Volume do paralelepípedo com arestas \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} = base × altura, logo
\text{volume do paralelepípedo} = \bigl|\mathbf{b}\times\mathbf{c}\bigr|\cdot\frac{\bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr|}{\bigl|\mathbf{b}\times\mathbf{c}\bigr|} = \bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr|.í
Portanto o módulo do produto misto é exatamente o volume do paralelepípedo formado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.

Passo 5

Exemplo numérico rápido (para fixar):
  • Tome \mathbf{a}=(1,0,0), \mathbf{b}=(0,1,0), \mathbf{c}=(0,0,1).
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \det\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix} = 1,
logo o volume do paralelepípedo é 1 (faz sentido: é o cubo unitário).
Observação relacionada: o volume do tetraedro formado pelos três vetores saindo da mesma origem é \tfrac{1}{6} do volume do paralelepípedo, ou seja
\text{volume do tetraedro} = \frac{1}{6}\bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr|.

Passo 6

Outras aplicações práticas e observações que caem em prova (vou listar e explicar curtinho):
  • Teste de coplanaridade: se \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=0 então os três vetores são coplanares (volume zero). Muito usado para verificar linearmente dependência em \mathbb{R}^3.
  • Orientação: o sinal do produto misto (positivo ou negativo) indica se a tripla (\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) é de mão direita (positivo) ou de mão esquerda (negativo). Em provas, isso aparece em problemas de orientação de bases.
  • Álgebra linear / cálculo: \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) é o determinante das componentes — aparece como Jacobiano em mudanças de variáveis e para checar se vetores formam base (determinante não nulo).
  • Física e geometria: aparece em expressões envolvendo volumes, fluxo orientado e em identidades vetoriais úteis (por exemplo, em dinâmica e eletromagnetismo).

Passo 7

Como calcular na prova (receita rápida para não errar):
  • Método 1 (determinante): escreva as componentes e calcule o determinante 3\times3.
  • Método 2 (cross então dot): calcule \mathbf{b}\times\mathbf{c} e depois faça \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). Use o módulo ao final se pedirem volume.
    Dica: se der zero, já conclui coplanaridade; se pedirem volume, entregue \bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr|; se pedirem tetraedro, divida por 6.

Resposta

O módulo do produto misto \bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr| dá o volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}; com isso serve também para calcular volumes (paralelepípedo e, dividido por 6, o tetraedro), testar coplanaridade (zero) e corresponde ao determinante/Jacobiano nas coordenadas.

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