Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Vetores.
Quais as operações definidas entre vetores? Exemplifique-as algebricamente e, se possível, geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede que eu responda quais operações estão definidas entre vetores e que eu exemplifique cada uma algebricamente e, se possível, geometricamente. Não há números ou figuras dadas pelo enunciado; a tarefa é apresentar as operações principais entre vetores, com definições, propriedades e exemplos explicados passo a passo.

Passo 2

Adição de vetores — definição e exemplo algébrico.
  • Definição: dadas duas coordenadas vetoriais \mathbf{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n), a soma é feita componente a componente:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;\dots,\;u_n+v_n).
  • Exemplo numérico (em \mathbb{R}^2): se \mathbf{u}=(2,1) e \mathbf{v}=(-1,3) então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(2+(-1),\;1+3)=(1,4).
  • Interpretação geométrica: colocar \mathbf{v} com a cauda no ponto onde termina \mathbf{u} (regra ponta-a-cauda); o vetor resultante vai da cauda de \mathbf{u} até a ponta de \mathbf{v}. Geometricamente isso também é o diagonal do paralelogramo com lados \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • Propriedades importantes: comutatividade \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}, associatividade (\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}), elemento neutro \mathbf{0} tal que \mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u}.

Passo 3

Multiplicação por escalar — definição e exemplo algébrico.
  • Definição: para escalar a\in\mathbb{R} e vetor \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n),
a\mathbf{u}=(a u_1,\;a u_2,\;\dots,\;a u_n).
  • Exemplo: com \mathbf{u}=(2,-1) e a=3,
3\mathbf{u}=(6,-3).
  • Interpretação geométrica: a\mathbf{u} é o mesmo sentido de \mathbf{u} quando a>0 e sentido oposto quando a<0; |a| alonga (se |a|>1) ou contrai (se |a|<1) o comprimento do vetor original.
  • Propriedades: distributividade a(\mathbf{u}+\mathbf{v})=a\mathbf{u}+a\mathbf{v}, (a+b)\mathbf{u}=a\mathbf{u}+b\mathbf{u}, associatividade de escalares (ab)\mathbf{u}=a(b\mathbf{u}).

Passo 4

Subtração de vetores — como operar e interpretação.
  • Definição: \mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-1)\mathbf{v}. Em coordenadas,
\mathbf{u}-\mathbf{v}=(u_1-v_1,\;u_2-v_2,\;\dots,\;u_n-v_n).
  • Exemplo: \mathbf{u}=(2,1), \mathbf{v}=(-1,3) então
\mathbf{u}-\mathbf{v}=(2-(-1),\;1-3)=(3,-2).
  • Interpretação geométrica: o vetor \mathbf{u}-\mathbf{v} vai da ponta de \mathbf{v} até a ponta de \mathbf{u} quando ambos têm a mesma cauda; também pode ser visto como o vetor que “transporta” \mathbf{v} em \mathbf{u}.

Passo 5

Norma (módulo, comprimento) de vetor — definição, cálculo e normalização.
  • Definição: a norma de \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^{2}+u_2^{2}+\dots+u_n^{2}}.
  • Exemplo: para \mathbf{u}=(3,4),
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
  • Interpretação geométrica: comprimento do segmento que representa o vetor (Pitagoras).
  • Normalização (vetor unitário): \hat{\mathbf{u}}=\dfrac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|} tem norma igual a 1. Ex.: para \mathbf{u}=(3,4), \hat{\mathbf{u}}=\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right).

Passo 6

Produto escalar (dot product) — definição algébrica, relação geométrica e uso para ângulo e ortogonalidade.
  • Definição em coordenadas: para \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) e \mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+\dots+u_n v_n.
  • Exemplo numérico: \mathbf{u}=(1,2,3), \mathbf{v}=(4,-1,2),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot4+2\cdot(-1)+3\cdot2=4-2+6=8.
  • Fórmula geométrica e ângulo: o produto escalar também satisfaz
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. Assim é possível obter
\cos\theta=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|}.
  • Ortogonalidade: \mathbf{u} é ortogonal a \mathbf{v} quando \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0.
  • Projeção de \mathbf{u} sobre \mathbf{v}: a projeção vetorial (componente de \mathbf{u} na direção de \mathbf{v}) é
\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^{2}}\;\mathbf{v}.
  • Exemplo de projeção: com \mathbf{u}=(3,1), \mathbf{v}=(1,0),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=3\cdot1+1\cdot0=3,\qquad \|\mathbf{v}\|^{2}=1,
então
\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=3(1,0)=(3,0).
Geometricamente, a projeção é a sombra de \mathbf{u} sobre a reta gerada por \mathbf{v}.

Passo 7

Produto vetorial (cross product) — aplica-se em \mathbb{R}^3.
  • Definição (componentes via determinante): para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3), \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} =(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
  • Exemplo: \mathbf{u}=(1,0,0), \mathbf{v}=(0,1,0) então
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(0\cdot0-0\cdot1,\;0\cdot0-1\cdot0,\;1\cdot1-0\cdot0)=(0,0,1).
  • Interpretação geométrica: \mathbf{u}\times\mathbf{v} é um vetor perpendicular a ambos \mathbf{u} e \mathbf{v}, com sentido dado pela regra da mão direita e módulo
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|\;|\sin\theta|,
que é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • Propriedades: anticomutatividade \mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u}), distributividade \mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf{w}.]

Passo 8

Produto escalar triplo (scalar triple product) e interpretação de volume.
  • Definição: para \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3,
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})
é o produto escalar triplo.
  • Interpretação geométrica: |\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})| é o volume do paralelepípedo formado por \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}.
  • Exemplo: se \mathbf{u}=(1,0,0), \mathbf{v}=(0,1,0), \mathbf{w}=(0,0,1) então
\mathbf{v}\times\mathbf{w}=(1\cdot0-0\cdot1,\dots)=(1,0,0),
e
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=1.
  • Observação útil: se o produto escalar triplo for zero, os três vetores são coplanares.

Passo 9

Combinações lineares, dependência/independência e base.
  • Combinação linear: para escalares a,b, a\mathbf{u}+b\mathbf{v} é uma combinação linear de \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • Dependência linear: vetores são linearmente dependentes se existir uma combinação linear não trivial que resulte no vetor zero:
\alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+\dots+\alpha_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}
com nem todos \alpha_i iguais a zero.
  • Exemplo: em \mathbb{R}^2, (1,2) e (2,4) são linearmente dependentes porque (-2)(1,2)+1(2,4)=\mathbf{0}.
  • Span (espaço gerado): o conjunto de todas as combinações lineares de \{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\} é chamado de span; para \{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\} em \mathbb{R}^n o span é todo \mathbb{R}^n.

Passo 10

Identidade vetorial útil (produto vetorial duplo) e aplicações rápidas.
  • Identidade do produto vetorial duplo (vetor em termos de produtos escalares):
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}.
  • Uso prático: transforma expressões com cruzamentos em combinações lineares; aparece muito em mecânica e campos.

Passo 11

Exemplos práticos de reconhecimento em prova e dicas rápidas.
  • Se pedem ângulo entre vetores: use \cos\theta=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}.
  • Se pedem área de paralelogramo: calcule \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|.
  • Se precisam de volume: calcule |\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})|.
  • Para componentes paralela e perpendicular: projete com \operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^{2}}\mathbf{v} e a parte perpendicular é \mathbf{u}-\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}.
  • Memorize: soma = paralelogramo / ponta-a-cauda; escalar × vetor = alongar/virar; dot = ângulo e componente; cross = perpendicular e área.

Passo 12

Recapitulando em linguagem amigável: as operações mais usadas entre vetores que você precisa ter na ponta da língua e entender geometricamente são soma, subtração, multiplicação por escalar, norma (módulo), normalização, produto escalar, projeção, produto vetorial (em \mathbb{R}^3), produto escalar triplo, combinações lineares e conceitos de dependência/independência.

Resposta

Soma de vetores; subtração de vetores; multiplicação por escalar; norma (módulo) e normalização; produto escalar (dot product) e uso para ângulo/ortogonalidade; projeção de um vetor sobre outro; produto vetorial (cross product) em \mathbb{R}^3 e sua interpretação geométrica; produto escalar triplo (volume); combinações lineares e os conceitos de dependência/independência/span.

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