a) sumn=1^infty (-2)^n-13^n

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumn=1^infty (-2)^n-13^n
Isso é uma série geométrica infinita. Para resolver, precisamos identificar o primeiro termo a1, a razão q, verificar a convergência ( |q|<1) e usar a fórmula da soma.

Passo 2

O primeiro termo é dado por n=1:
a1 = (-2)^1-13^1 = 13
A razão q vem do quociente entre termos consecutivos:
q = (-2)^n3^n+1(-2)^n-13^n = -23

Passo 3

Verificamos a convergência comparando o valor absoluto da razão:
|q| = l|!-,tfrac23r| = 23 < 1,
logo a série converge.

Passo 4

Para uma série geométrica com a1 e q tal que |q|<1, vale
sumn=1^infty a1,q^,n-1 = a11 - q
Substituindo a1 = tfrac13 e q = -tfrac23, temos
sumn=1^infty (-2)^n-13^n = tfrac131 - l(-tfrac23r) = tfrac131 + tfrac23 = tfrac13tfrac53 = 15

Resposta

15

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