Seja f(x)=ccx^2-1, & se x<2 1, & se x=2 3 x-5, & se x>2.
A função f é contínua no ponto x=2? Justifique.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se a função [f(x)) é contínua no ponto . A função é definida por partes:
Para determinar a continuidade em (x = 2], precisamos verificar os limites laterais e o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em x = a se:
limx to a^- f(x) = limx to a^+ f(x) = f(a)
Ou seja, o limite quando x se aproxima de a pela esquerda ( a^- ) deve ser igual ao limite pela direita ( a^+ ) e ambos devem ser iguais ao valor da função em a .

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de 2 pela esquerda ( x to 2^- ). Para x < 2 , a função é f(x) = x^2 - 1 :
limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (x^2 - 1) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando x se aproxima de 2 pela direita ( x to 2^+ ). Para x > 2 , a função é f(x) = 3x - 5 :
limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (3x - 5) = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1

Passo 5

Verificamos o valor da função no ponto x = 2 :
f(2) = 1

Passo 6

Agora, comparamos os limites e o valor da função:
limx to 2^- f(x) = 3 limx to 2^+ f(x) = 1 f(2) = 1
Para que a função seja contínua em x = 2 , os dois limites devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função em 2. Aqui, o limite pela esquerda é 3, enquanto o limite pela direita é 1, que é igual ao valor da função.

Resposta

Como limx to 2^- f(x) = 3 é diferente de limx to 2^+ f(x) = 1 , a função f não é contínua no ponto x = 2 .

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