Seja .
A função f é contínua no ponto x=2? Justifique.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta se a função [f(x)) é contínua no ponto . A função é definida por partes:
Para determinar a continuidade em (x = 2], precisamos verificar os limites laterais e o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em x = a se:
limx to a^- f(x) = limx to a^+ f(x) = f(a)
Ou seja, o limite quando x se aproxima de a pela esquerda ( a^- ) deve ser igual ao limite pela direita ( a^+ ) e ambos devem ser iguais ao valor da função em a .
Passo 3
Vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de 2 pela esquerda ( x to 2^- ). Para x < 2 , a função é f(x) = x^2 - 1 :
limx to 2^- f(x) = 3 limx to 2^+ f(x) = 1 f(2) = 1
Para que a função seja contínua em x = 2 , os dois limites devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função em 2. Aqui, o limite pela esquerda é 3, enquanto o limite pela direita é 1, que é igual ao valor da função.
Resposta
Como limx to 2^- f(x) = 3 é diferente de limx to 2^+ f(x) = 1 , a função f não é contínua no ponto x = 2 .