Exercício 8. Identifique e descreva as superfícies de equações dadas. Represente graficamente.
Passo 1
O enunciado pede para identificar a superfície dada pela equação
Isso é um caso de superfície quádricas em
. Para classificar, vamos completar o quadrado em
e levar a equação a uma forma canônica.
Passo 2
Começamos completando o quadrado em
. Temos
Substituindo na equação original:
Passo 3
Reorganizando, isolamos os termos quadráticos de um lado:
Multiplicando por
e dividindo por
:
Esta é a forma canônica de uma hipersuperfície.
Passo 4
Observando o sinal dos coeficientes, vemos um termo positivo em
e dois termos negativos em
e
. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas com eixo principal ao longo do eixo
, deslocado em
por
.
- Não há pontos para
(pois o lado esquerdo seria ), confirmando as duas folhas. - As vértices estão em
. - Para planos
com , as seções transversais são elipses de equação .
Passo 5
Graficamente, trata-se de duas “tigelas” simétricas em relação ao plano
, cuja concavidade aponta para fora, com centro de simetria em
e eixo ao longo de
. Cada folha começa na sua vértice em
ou em
e se abre conforme
cresce.
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, com eixo paralelo a
, deslocado em
de
, vértices em
e seções transversais elípticas para
.