Exercício 8. Identifique e descreva as superfícies de equações dadas. Represente graficamente.
2 x^{2}+y^{2}-4 z^{2}+2 y+5=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície dada pela equação
2x^{2}+y^{2}-4z^{2}+2y+5=0
Isso é um caso de superfície quádricas em (x,y,z). Para classificar, vamos completar o quadrado em y e levar a equação a uma forma canônica.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em y. Temos
y^{2}+2y = (y+1)^{2} - 1.
Substituindo na equação original:
2x^{2} + \bigl((y+1)^{2}-1\bigr) -4z^{2} +5 = 0
2x^{2} + (y+1)^{2} -4z^{2} +4 = 0.

Passo 3

Reorganizando, isolamos os termos quadráticos de um lado:
2x^{2} + (y+1)^{2} -4z^{2} = -4.
Multiplicando por -1 e dividindo por 4:
-2x^{2} - (y+1)^{2} +4z^{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{z^{2}}{1} \;-\;\frac{x^{2}}{2}\;-\;\frac{(y+1)^{2}}{4}=1.
Esta é a forma canônica de uma hipersuperfície.

Passo 4

Observando o sinal dos coeficientes, vemos um termo positivo em z^{2} e dois termos negativos em x^{2} e (y+1)^{2}. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas com eixo principal ao longo do eixo z, deslocado em y por -1.
  • Não há pontos para z=0 (pois o lado esquerdo seria \le0\neq1), confirmando as duas folhas.
  • As vértices estão em (0,-1,\pm1).
  • Para planos z=\pm z_{0} com |z_{0}|\ge1, as seções transversais são elipses de equação \tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{(y+1)^{2}}{4}=z_{0}^{2}-1.

Passo 5

Graficamente, trata-se de duas “tigelas” simétricas em relação ao plano z=0, cuja concavidade aponta para fora, com centro de simetria em (0,-1,0) e eixo ao longo de z. Cada folha começa na sua vértice em (0,-1,1) ou em (0,-1,-1) e se abre conforme |z| cresce.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, com eixo paralelo a z, deslocado em y de -1, vértices em (0,-1,\pm1) e seções transversais elípticas para |z|\ge1.

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