Exercício 7. Identifique a superfície
e sua interseção com o plano
dado. Represente graficamente esta interseção no plano
.
e
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádrupla
e o plano
.
Queremos
Queremos
- Identificar o tipo de superfície
. - Encontrar
. - Descrever graficamente essa interseção no próprio plano
.
Passo 2
Para entender o tipo de
, isolamos
. Da equação
temos
Como os termos
e
aparecem com sinais opostos (
e
), a superfície é um paraboloide hiperbólico.
Passo 3
Para achar a curva de interseção
, substituímos
em
Isso dá
Dividindo por
, surge
Passo 4
A curva
está no plano
e satisfaz
Isto é uma parábola de vértice em
, eixo paralelo ao eixo
e concavidade para baixo.
Passo 5
Para representar graficamente no plano
, adotamos coordenadas
lá com
fixo em
. A parábola
tem
- vértice em
, - abertua para baixo,
- interseções com o eixo
em , ou seja .
No plano
, isso aparece como uma curva em forma de “U invertido”, com pontos notáveis
,
e
.
Resposta
A superfície
é um paraboloide hiperbólico dado por
A interseção com
é a parábola
cujo esboço no plano
tem vértice em
e concavidade para baixo.