Exercício 7. Identifique a superfície S e sua interseção com o plano \pi dado. Represente graficamente esta interseção no plano \pi.
S: 18 x^{2}+9 y-2 z^{2}-18=0 e \pi: z=3

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádrupla
18x^{2} + 9y - 2z^{2} - 18 = 0
e o plano \pi\colon z=3.
Queremos
  1. Identificar o tipo de superfície S.
  2. Encontrar S\cap\pi.
  3. Descrever graficamente essa interseção no próprio plano \pi.

Passo 2

Para entender o tipo de S, isolamos y. Da equação
18x^{2} + 9y - 2z^{2} - 18 = 0
temos
9y = 18 - 18x^{2} + 2z^{2} \quad\Longrightarrow\quad y = 2 - 2x^{2} + \frac{2}{9}z^{2}.
Como os termos x^{2} e z^{2} aparecem com sinais opostos ( -2 e +\tfrac{2}{9}), a superfície é um paraboloide hiperbólico.

Passo 3

Para achar a curva de interseção S\cap\pi, substituímos z=3 em
18x^{2} + 9y - 2z^{2} - 18 = 0.
Isso dá
18x^{2} + 9y - 2\cdot 3^{2} - 18 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 18x^{2} + 9y - 18 - 18 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 18x^{2} + 9y - 36 = 0.
Dividindo por 9, surge
2x^{2} + y - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 4 - 2x^{2}.

Passo 4

A curva S\cap\pi está no plano z=3 e satisfaz
y = 4 - 2x^{2}.
Isto é uma parábola de vértice em (x,y)=(0,4), eixo paralelo ao eixo y e concavidade para baixo.

Passo 5

Para representar graficamente no plano \pi, adotamos coordenadas (x,y) lá com z fixo em 3. A parábola y=4-2x^{2} tem
  • vértice em (0,4),
  • abertua para baixo,
  • interseções com o eixo x em y=0, ou seja x=\pm\sqrt{2}.
No plano z=3, isso aparece como uma curva em forma de “U invertido”, com pontos notáveis
(-\sqrt{2},0,3), (0,4,3) e (\sqrt{2},0,3).

Resposta

A superfície S é um paraboloide hiperbólico dado por
y = 2 - 2x^{2} + \tfrac{2}{9}z^{2}.
A interseção com \pi\colon z=3 é a parábola
y = 4 - 2x^{2},\quad z=3,
cujo esboço no plano z=3 tem vértice em (0,4,3) e concavidade para baixo.

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