Exercício 8. Identifique e descreva as superfícies de equações dadas. Represente graficamente.
6 x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}+24 x-6 y-12 z+39=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de equação
6x^{2}+3y^{2}+2z^{2}+24x-6y-12z+39=0
e pede para identificar que tipo de quadricamente é, descrevê-la e representá-la graficamente. Vamos usar o método de completar quadrados para colocá-la na forma canônica.

Passo 2

Agrupamos termos em x, y e z e extraímos os coeficientes dos quadrados:
6\bigl(x^{2}+4x\bigr)\;+\;3\bigl(y^{2}-2y\bigr)\;+\;2\bigl(z^{2}-6z\bigr)\;+\;39=0.

Passo 3

Em cada grupo, completamos o quadrado e ajustamos a constante:
6 \bigl(x^{2}+4x+4\bigr)-6\cdot4 \rightarrow 6(x+2)^{2}-24
3 \bigl(y^{2}-2y+1\bigr)-3\cdot1 \rightarrow 3(y-1)^{2}-3
2 \bigl(z^{2}-6z+9\bigr)-2\cdot9 \rightarrow 2(z-3)^{2}-18
Substituindo e somando as constantes com o +39:
6(x+2)^{2}-24\;+\;3(y-1)^{2}-3\;+\;2(z-3)^{2}-18\;+\;39=0
6(x+2)^{2}+3(y-1)^{2}+2(z-3)^{2}-6=0.

Passo 4

Isolamos o termo quadrático igualando a constante do outro lado e dividimos por 6 para obter a forma canônica:
6(x+2)^{2}+3(y-1)^{2}+2(z-3)^{2}=6
\frac{(x+2)^{2}}{1} \;+\;\frac{(y-1)^{2}}{2} \;+\;\frac{(z-3)^{2}}{3} \;=\;1.

Passo 5

Essa é a equação de um elipsoide centrado em (-2,1,3) com semi-eixos de comprimentos
a=1,\quad b=\sqrt{2},\quad c=\sqrt{3}
ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente. Graficamente, é um “ovo” simétrico esticado nessas três direções, com vértices em
x=-2\pm1,\quad y=1\pm\sqrt{2},\quad z=3\pm\sqrt{3}.

Resposta

A superfície é um elipsoide de centro em (-2,1,3) e semi-eixos 1, \sqrt{2} e \sqrt{3} ao longo dos eixos coordenados.

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