Exercício 8. Identifique e descreva as superfícies de equações dadas. Represente graficamente.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádrupla de equação
e pede para identificá-la e desenhá-la. O conteúdo é classificação de superfícies quádricas: vamos completar quadrados em
e
para pôr na forma canônica e, a partir daí, reconhecer de que tipo é (elipsoide, hiperboloide, cone etc.).
Passo 2
Agrupamos termos em
e em
e completamos o quadrado:
Note que
Substituindo:
Passo 3
Expandindo e arrumando constantes:
Isolando
:
Passo 4
A equação
é a forma padrão de um cone duplo elíptico de vértice no ponto
e eixo de simetria paralelo ao eixo
. Para cada
a seção
é uma elipse, e para
só temos o ponto vértice.
Passo 5
Para desenhar: coloque o vértice em
, trace o eixo principal na direção
. Em cada plano
as interseções são elipses de semieixos
Temos duas “nappes” (uma para
e outra para
), abrindo simetricamente ao longo de
.
Resposta
A superfície é um cone duplo elíptico (cones de duas nappes) de vértice em
e eixo paralelo ao eixo
.