Exercício 8. Identifique e descreva as superfícies de equações dadas. Represente graficamente.
2 x^{2}-6 y^{2}-3 z^{2}-24 y+6 z-27=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádrupla de equação
2x^{2}-6y^{2}-3z^{2}-24y+6z-27=0
e pede para identificá-la e desenhá-la. O conteúdo é classificação de superfícies quádricas: vamos completar quadrados em y e z para pôr na forma canônica e, a partir daí, reconhecer de que tipo é (elipsoide, hiperboloide, cone etc.).

Passo 2

Agrupamos termos em y e em z e completamos o quadrado:
2x^{2}-6\bigl(y^{2}+4y\bigr)-3\bigl(z^{2}-2z\bigr)-27=0.
Note que
y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4, \qquad z^{2}-2z = (z-1)^{2}-1.
Substituindo:
2x^{2}-6\bigl((y+2)^{2}-4\bigr)-3\bigl((z-1)^{2}-1\bigr)-27=0.

Passo 3

Expandindo e arrumando constantes:
2x^{2}-6(y+2)^{2}+24-3(z-1)^{2}+3-27=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}-6(y+2)^{2}-3(z-1)^{2}=0.
Isolando x^{2}:
2x^{2}=6(y+2)^{2}+3(z-1)^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{3}=(y+2)^{2}+\frac{(z-1)^{2}}{2}.

Passo 4

A equação
\frac{x^{2}}{3}=(y+2)^{2}+\frac{(z-1)^{2}}{2}
é a forma padrão de um cone duplo elíptico de vértice no ponto (0,-2,1) e eixo de simetria paralelo ao eixo x. Para cada x\neq0 a seção x=\text{constante} é uma elipse, e para x=0 só temos o ponto vértice.

Passo 5

Para desenhar: coloque o vértice em (0,-2,1), trace o eixo principal na direção x. Em cada plano x=x_{0} as interseções são elipses de semieixos
a=\sqrt{3}\,\lvert x_{0}\rvert, \qquad b=\sqrt{2}\,\lvert x_{0}\rvert.
Temos duas “nappes” (uma para x>0 e outra para x<0), abrindo simetricamente ao longo de x.

Resposta

A superfície é um cone duplo elíptico (cones de duas nappes) de vértice em (0,-2,1) e eixo paralelo ao eixo x.

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