Exercício 8. Identifique e descreva as superfícies de equações dadas. Represente graficamente.
Passo 1
O enunciado pede para identificar e descrever a superfície de equação
Isso é conteúdo de superfícies quádricas em
. Vamos completar quadrados para levar a equação à forma canônica e, a partir daí, classificar o tipo (elipsoide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, paraboloide, etc.) e descrever seu centro, eixos e traços.
Passo 2
Agrupamos termos em
,
e
para completar quadrados:
Para
:
Para
:
Para
:
Substituindo na equação original:
Agora somamos as constantes:
. Então
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
para obter a forma canônica:
Passo 4
Na forma
temos dois termos com sinal positivo e um com sinal negativo. Essa é a equação de um hiperbolóide de uma folha, deslocado de origem para o centro
.
Eixos principais (direções dos eixos do sistema canônico):
- Eixo em
com “raio” . - Eixo em
com “raio” . - Eixo em
(direção em que a curvatura é hiperbólica) com parâmetro .
Traços notáveis:
- Plano
: interseção é elipse
. - Plano
ou : interseções são hipérboles.
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha centrado em
, cuja forma canônica é
Gráfico qualitativo: um “sanduíche” infinito em
, aberto nessa direção, com secções elípticas para
.