Exercício 8. Identifique e descreva as superfícies de equações dadas. Represente graficamente.
4 x^{2}-2 y^{2}+z^{2}-24 x-4 y+8 z+42=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e descrever a superfície de equação
4x^{2}-2y^{2}+z^{2}-24x-4y+8z+42=0
Isso é conteúdo de superfícies quádricas em \mathbb{R}^3. Vamos completar quadrados para levar a equação à forma canônica e, a partir daí, classificar o tipo (elipsoide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, paraboloide, etc.) e descrever seu centro, eixos e traços.

Passo 2

Agrupamos termos em x, y e z para completar quadrados:
Para x:
4x^{2}-24x = 4\bigl(x^{2}-6x\bigr) =4\bigl[(x-3)^{2}-9\bigr] =4(x-3)^{2}-36.
Para y:
-2y^{2}-4y = -2\bigl(y^{2}+2y\bigr) =-2\bigl[(y+1)^{2}-1\bigr] =-2(y+1)^{2}+2.
Para z:
z^{2}+8z = (z+4)^{2}-16.
Substituindo na equação original:
\bigl[4(x-3)^{2}-36\bigr] +\bigl[-2(y+1)^{2}+2\bigr] +\bigl[(z+4)^{2}-16\bigr] +42=0.
Agora somamos as constantes: -36+2-16+42=-8. Então
4(x-3)^{2}-2(y+1)^{2}+(z+4)^{2}-8=0 \quad\Longrightarrow\quad 4(x-3)^{2}-2(y+1)^{2}+(z+4)^{2}=8.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 8 para obter a forma canônica:
\frac{4(x-3)^{2}}{8} -\frac{2(y+1)^{2}}{8} +\frac{(z+4)^{2}}{8} =1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-3)^{2}}{2} -\frac{(y+1)^{2}}{4} +\frac{(z+4)^{2}}{8} =1.

Passo 4

Na forma
\frac{(x-3)^{2}}{2} -\frac{(y+1)^{2}}{4} +\frac{(z+4)^{2}}{8} =1
temos dois termos com sinal positivo e um com sinal negativo. Essa é a equação de um hiperbolóide de uma folha, deslocado de origem para o centro (3,\,-1,\,-4).
Eixos principais (direções dos eixos do sistema canônico):
  • Eixo em x com “raio” \sqrt{2}.
  • Eixo em z com “raio” \sqrt{8}=2\sqrt{2}.
  • Eixo em y (direção em que a curvatura é hiperbólica) com parâmetro \sqrt{4}=2.
Traços notáveis:
  • Plano y=-1: interseção é elipse
    \frac{(x-3)^{2}}{2}+\frac{(z+4)^{2}}{8}=1.
  • Plano x=3 ou z=-4: interseções são hipérboles.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha centrado em (3,\,-1,\,-4), cuja forma canônica é
\frac{(x-3)^{2}}{2} -\frac{(y+1)^{2}}{4} +\frac{(z+4)^{2}}{8} =1.
Gráfico qualitativo: um “sanduíche” infinito em y, aberto nessa direção, com secções elípticas para y=\text{constante}.

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