Exercício 8. Identifique e descreva as superfícies de equações dadas. Represente graficamente.
Passo 1
O enunciado pede para identificar a superfície dada pela equação
Este é um problema de classificação de superfícies quádricas em
. Vamos completar quadrados em
e
para chegar a uma forma padrão e daí reconhecer do que se trata.
Passo 2
Começamos agrupando termos em
e
e completando quadrados:
Para
:
Para
:
Substituindo:
Agrupando as constantes
, obtemos
Passo 3
Isolando
, fica
Esta é a equação padrão de um paraboloide elíptico que abre para cima (direção positiva do eixo
). O vértice está em
e o eixo de simetria é paralelo ao eixo
.
Passo 4
Para entender a forma, observe as curvas de nível
:
- Se
, a curva reduz-se a um ponto no vértice. - Se
, são círculos de raio centrados em no plano .
Gráfico: um “bowl” com vértice em, se alargando em círculos à medida que cresce.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em
, abrindo no sentido positivo de
. No formato padrão: