Exercício 6. Identifique as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso.
z^{2}=4+4 x^{2}+4 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície dada por
z^{2} = 4 + 4x^{2} + 4y^{2}
e dizer ao longo de que eixo ela se estende. O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação em forma canônica. Subtraindo 4x^{2}+4y^{2} de ambos os lados e depois dividindo por 4, obtemos
z^{2} - 4x^{2} - 4y^{2} = 4
\frac{z^{2}}{4} - x^{2} - y^{2} = 1

Passo 3

Na forma
\frac{z^{2}}{4} - x^{2} - y^{2} = 1
vemos um sinal positivo associado a z^{2} e sinais negativos associados a x^{2} e y^{2}. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas. Como o termo positivo está em z^{2}, as “folhas” se abrem no sentido do eixo z.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de duas folhas que se estende ao longo do eixo z.

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