Exercício 8. Identifique e descreva as superfícies de equações dadas. Represente graficamente.
Passo 1
O enunciado pede para identificar a superfície de
usando conceitos de superfícies quádricas (paraboloide, elipsoide etc.) e representá-la graficamente. Para isso, vamos completar os quadrados em
e
e pôr a equação em forma padrão.
Passo 2
Reescrevemos agrupando termos em
e
:
Agora completamos o quadrado em
e em
:
- Para
: - Para
:
Passo 3
Substituindo na equação original:
Logo, isolando
:
Passo 4
A forma
é a equação de um paraboloide elíptico que abre na direção positiva de
.
- Vértice: ocorre quando
e , ou seja em - Seções transversais:
- Planos paralelos a
(fixando ) dão parábolas em – . - Planos paralelos a
(fixando ) dão parábolas em – . - Planos horizontais
dão elipses centradas em com equação
- Planos paralelos a
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em
, abrindo-se na direção positiva do eixo
. A sua forma padrão é