Exercício 8. Identifique e descreva as superfícies de equações dadas. Represente graficamente.
x^{2}+4 y^{2}+8 x-8 y-4 z+28=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície de
x^{2}+4y^{2}+8x-8y-4z+28=0
usando conceitos de superfícies quádricas (paraboloide, elipsoide etc.) e representá-la graficamente. Para isso, vamos completar os quadrados em x e y e pôr a equação em forma padrão.

Passo 2

Reescrevemos agrupando termos em x e y:
x^{2}+8x \;+\;4y^{2}-8y \;-\;4z \;+\;28=0.
Agora completamos o quadrado em x e em y:
  • Para x^{2}+8x: x^{2}+8x = (x+4)^{2}-16.
  • Para 4y^{2}-8y: 4y^{2}-8y = 4\bigl(y^{2}-2y\bigr) =4\bigl((y-1)^{2}-1\bigr) =4(y-1)^{2}-4.

Passo 3

Substituindo na equação original:
(x+4)^{2}-16 \;+\;4(y-1)^{2}-4 \;-\;4z \;+\;28 = 0
(x+4)^{2}+4(y-1)^{2} \;+\;( -16 -4 +28 ) \;-\;4z = 0
(x+4)^{2}+4(y-1)^{2}+8 = 4z
Logo, isolando z:
z = \frac{(x+4)^{2}}{4} \;+\;(y-1)^{2} \;+\;2.

Passo 4

A forma
z = \frac{(x+4)^{2}}{4} + (y-1)^{2} + 2
é a equação de um paraboloide elíptico que abre na direção positiva de z.
  • Vértice: ocorre quando (x+4)^{2}=0 e (y-1)^{2}=0, ou seja em (x,y,z)=(-4,\,1,\,2).
  • Seções transversais:
    • Planos paralelos a xz (fixando y) dão parábolas em x z.
    • Planos paralelos a yz (fixando x) dão parábolas em y z.
    • Planos horizontais z=\text{const} dão elipses centradas em (-4,1) com equação \frac{(x+4)^{2}}{4}+(y-1)^{2} = \text{const}-2.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em (-4,1,2), abrindo-se na direção positiva do eixo z. A sua forma padrão é
z = \frac{(x+4)^{2}}{4} + (y-1)^{2} + 2.

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