Questão 1: Verifique se a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right]
é diagonalizável (Justifique sua resposta). Em caso positivo, exiba as matrizes P invertível e D diagonal tais que P^{-1} A P=D.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\\\ 3 & 0 & -3\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
e pede para verificar se A é diagonalizável. Para isso, precisamos encontrar os autovalores (soluções de \det(A-\lambda I)=0), calcular as dimensões dos autoespaços associados (autovetores), checar se a soma dessas dimensões atinge 3, e em caso positivo exibir uma base de autovetores em uma matriz P que diagonaliza A, de modo que
P^{-1}A\,P = D
seja diagonal.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix} -1-\lambda & 0 & 1\\\\ 3 & -\lambda & -3\\\\ 1 & 0 & -1-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela segunda coluna (onde só aparece -\lambda no segundo elemento), obtemos
\det(A-\lambda I) = (-\lambda)\, \det\begin{pmatrix} -1-\lambda & 1\\\\ 1 & -1-\lambda \end{pmatrix} = -\lambda\bigl[( -1-\lambda)^2 - 1\bigr] = -\lambda(\lambda^2+2\lambda) = -\lambda^2(\lambda+2).
Logo, os autovalores são
\lambda_1 = 0\quad(\text{multiplicidade }2), \qquad \lambda_2 = -2\quad(\text{multiplicidade }1).

Passo 3

Autovetores para \lambda=0\). Precisamos resolver \[A\,v = 0.
Chamando v=(x,y,z), o sistema é
\begin{cases} -\,x + z = 0,\\\\ 3x -3z = 0,\\\ x - z = 0. \end{cases}
Todas as equações dizem z = x\], enquanto \(y é livre. Portanto
v = (x,y,z) = x\,(1,0,1) + y\,(0,1,0),
e o autoespaço de \lambda=0 tem dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica.

Passo 4

Autovetores para \lambda=-2\). Resolvemos \[(A + 2I)\,v = 0,
ou seja
\begin{pmatrix} -1+2 & 0 & 1\\\\ 3 & 0+2 & -3\\\\ 1 & 0 & -1+2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
que é
\begin{cases} x + z = 0,\\\\ 3x +2y -3z = 0,\\\ x + z = 0. \end{cases}
Da primeira equação z=-x\]. Substituindo na segunda: \[3x +2y -3(-x)=6x+2y=0\;\Longrightarrow\;y=-3x.\] Escolhendo \(x=1, um autovetor é (1,-3,-1). O autoespaço tem dimensão 1, igual à multiplicidade algébrica.

Passo 5

Como a soma das dimensões dos autoespaços ( 2 + 1) é 3, igual à ordem de A, concluímos que A é diagonalizável. Tomando como base de autovetores, por exemplo,
v_1 = (1,0,1),\quad v_2 = (0,1,0)\quad(\text{para }\lambda=0), \quad v_3 = (1,-3,-1)\quad(\text{para }\lambda=-2),
montamos
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -3\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix},
de modo que
P^{-1}A\,P = D.

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Uma escolha é
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -3\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix},
que satisfaz P^{-1}AP = D.

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