Exercício 9: Identifique a superfície e esboce o seu gráfico em cada um dos casos a seguir:
x^21-y^294-z^21=1

Passo 1

O exercício pede para identificar e esboçar a superfície dada pela equação quadricátrica abaixo. O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas, mais especificamente os hiperbóides, e vamos usar a análise dos sinais dos coeficientes para decidir o tipo.

Passo 2

A equação está em forma canônica:
x^21-y^294-z^21=1
Comparando com a forma geral
x^2a^2-y^2b^2-z^2c^2=1
vemos que a^2=1, b^2=9/4 e c^2=1. Na teoria de superfícies quádricas, se há um termo positivo e dois termos negativos, isso caracteriza um hiperbóide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo associado ao termo positivo (aqui o eixo x).

Passo 3

Para entender a forma, fazemos cortes por planos paralelos:
  • Plano x=k: -y^29/4-z^21=1- k^2 Se lvert krvert<1, o lado direito fica negativo e não existe ponto real. Se lvert krvert>=1, reorganizando dá y^2(3/2)^2(k^2-1)+z^21,(k^2-1)=1 que são elipses. Ou seja, só há pontos para lvert xrvert>=1.
  • Plano y=0 ou z=0: os cortes são hipérboles, mas o mais importante é que não há nada entre x=-1 e x=1.

Passo 4

Concluindo, a superfície é um hiperbóide de duas folhas com eixo ao longo do eixo x. Cada folha está centrada em (1,0,0) e (-1,0,0) e cresce conforme lvert xrvert aumenta. Para esboçar, desenhe o eixo x, marque x=pm1 como vértices e, para valores típicos como x=2,3, desenhe elipses de semi-eixos raizk^2-1 e (3/2)raizk^2-1, expandindo conforme lvert xrvert aumenta.

Resposta

Hiperbóide de duas folhas orientado segundo o eixo x, com vértices em (1,0,0) e (-1,0,0).

Exercícios relacionados