Exercício 9: Identifique a superfície e esboce o seu gráfico em cada um dos casos a seguir:
Passo 1
O exercício pede para identificar e esboçar a superfície dada pela equação quadricátrica abaixo. O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas, mais especificamente os hiperbóides, e vamos usar a análise dos sinais dos coeficientes para decidir o tipo.
Passo 2
A equação está em forma canônica:
Comparando com a forma geral
vemos que
,
e
. Na teoria de superfícies quádricas, se há um termo positivo e dois termos negativos, isso caracteriza um hiperbóide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo associado ao termo positivo (aqui o eixo
).
Passo 3
Para entender a forma, fazemos cortes por planos paralelos:
- Plano
: Se , o lado direito fica negativo e não existe ponto real. Se , reorganizando dá que são elipses. Ou seja, só há pontos para . - Plano
ou : os cortes são hipérboles, mas o mais importante é que não há nada entre e .
Passo 4
Concluindo, a superfície é um hiperbóide de duas folhas com eixo ao longo do eixo
. Cada folha está centrada em
e
e cresce conforme
aumenta. Para esboçar, desenhe o eixo
, marque
como vértices e, para valores típicos como
, desenhe elipses de semi-eixos
e
, expandindo conforme
aumenta.
Resposta
Hiperbóide de duas folhas orientado segundo o eixo x, com vértices em (1,0,0) e (-1,0,0).