Exercício 9: Identifique a superfície e esboce o seu gráfico em cada um dos casos a seguir:
Passo 1
Temos a superfície dada por
. Aqui o conteúdo é superfícies quadráticas (quadricas) e vamos precisar usar contornos de nível e seções transversais para classificá-la e esboçar.
Passo 2
Para os contornos de nível, fixamos
(constante). A equação fica
Isso representa elipses centradas na origem, com semieixo em
Passo 3
Para as seções transversais em planos coordenados, analisamos:
- Plano
: , uma parábola no plano . - Plano
: , outra parábola no plano .
Isso mostra que em qualquer direção horizontal cortamos parábolas abertas para cima.
Passo 4
Pelas elipses de nível e pelas parábolas nas seções podemos concluir que a superfície é um paraboloide elíptico de vértice na origem e que abre para cima, com eixos principais alinhados com
e
.
Passo 5
Para esboçar, desenhe várias elipses de nível (por exemplo, para
) crescendo de tamanho, e imagine uma tigela contínua subindo de forma suave a partir da origem.
Resposta
Paraboloide elíptico de equação
, com vértice na origem e abertura para cima.