Exercício 9: Identifique a superfície e esboce o seu gráfico em cada um dos casos a seguir:
z=x^2+y^24

Passo 1

Temos a superfície dada por z = x^2 + tfracy^24. Aqui o conteúdo é superfícies quadráticas (quadricas) e vamos precisar usar contornos de nível e seções transversais para classificá-la e esboçar.

Passo 2

Para os contornos de nível, fixamos z = c (constante). A equação fica
x^2 + y^24 = c
Isso representa elipses centradas na origem, com semieixo em x de comprimento raizc e semieixo em y de comprimento 2raizc.

Passo 3

Para as seções transversais em planos coordenados, analisamos:
  • Plano y=0: z = x^2, uma parábola no plano x!z.
  • Plano x=0: z = tfracy^24, outra parábola no plano y!z.
    Isso mostra que em qualquer direção horizontal cortamos parábolas abertas para cima.

Passo 4

Pelas elipses de nível e pelas parábolas nas seções podemos concluir que a superfície é um paraboloide elíptico de vértice na origem e que abre para cima, com eixos principais alinhados com x e y.

Passo 5

Para esboçar, desenhe várias elipses de nível (por exemplo, para c=1,2,3) crescendo de tamanho, e imagine uma tigela contínua subindo de forma suave a partir da origem.

Resposta

Paraboloide elíptico de equação z = x^2 + tfracy^24, com vértice na origem e abertura para cima.

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