Exercício 2: Otenha a equação reduzida da parábola e construa o seu gráfico nos seguintes casos:
Vértice
com eixo de simetria paralelo ao eixo
e parâmetro
;
Vértice
Passo 1
O enunciado pede a equação reduzida de uma parábola de vértice em (3,−2), eixo de simetria paralelo ao eixo Oy e parâmetro p=1, além de construir o gráfico. O conteúdo é a forma canônica de parabolas com eixo vertical e vamos usar a definição que liga o parâmetro p à distância vértice–foco e vértice–diretriz.
Passo 2
Para parabolas com eixo de simetria paralelo ao eixo Oy (isto é, eixo vertical), a forma reduzida é
onde (h,k) é o vértice e p a distância do vértice ao foco.
Identificamos h=3, k=−2 e p=1. Substituindo esses valores na forma reduzida temos
Identificamos h=3, k=−2 e p=1. Substituindo esses valores na forma reduzida temos
ou seja, fazendo a simplificação, obtemos a equação final
Passo 3
Para construir o gráfico, extraímos: vértice V=(3,−2); foco F=(3,−2+p)=(3,−1); diretriz y=k−p=−3; a parábola abre para cima já que p>0. O latus-rectum tem comprimento |4p|=4 e passa pelos pontos (3±2,−1), isto é, (5,−1) e (1,−1). Desenhando esses elementos, traçamos a curva simétrica em relação à reta x=3, com vértice em (3,−2) e “boca” voltada para cima.
Resposta
Equação reduzida:
Gráfico: vértice em (3,−2), foco em (3,−1), diretriz y=−3, latus-rectum nos pontos (5,−1) e (1,−1), abertura para cima, simetria na reta x=3.