1 Sejam b(x, y)=3 x1 y1-2 x1 y2+5 x2 y1+7 x2 y2-8 x2 y3+ e seja 4 x3 y2-x3 y3 b uma forma bilinear. Escreva na notação matricial.

Passo 1

Temos uma forma bilinear b: R^3 times R^3 to R dada por b(x,y)=3x1y1-2x1y2+5x2y1+7x2y2-8x2y3+4x3y2-x3y3. O conteúdo é representação matricial de forma bilinear, e precisaremos usar a ideia de que b(x,y)=x^T A y para alguma matriz A.

Passo 2

Para escrever b(x,y) como x^T A y, identificamos que o coeficiente de xi yj é o elemento aij da matriz A. Assim obtemos:
  • a11=3 pois aparece 3x1y1.
  • a12=-2 pois aparece -2x1y2.
  • a13=0 pois não há termo x1y3.
  • a21=5 pois aparece 5x2y1.
  • a22=7 pois aparece 7x2y2.
  • a23=-8 pois aparece -8x2y3.
  • a31=0 pois não há termo x3y1.
  • a32=4 pois aparece 4x3y2.
  • a33=-1 pois aparece -x3y3.

Passo 3

Agora basta montar a matriz A=(aij) com esses elementos.

Resposta

[\
A = \begin{pmatrix}3 & -2 & 0 \\ 5 & 7 & -8 \\ 0 & 4 & -1\end{pmatrix}
\]

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