2 Seja A in Mn(K). Mostre que a seguinte função b é uma forma bilinear em K^n: b(x, y)=x^t A y. Recorde que, por convenção os vetores x in K^n, são denotados como matrizes n times 1.

Passo 1

A questão pede para mostrar que a função bcolon K^ntimes K^nto K definida por b(x,y)=x^tAy é uma forma bilinear. Vamos usar a definição de forma bilinear (linearidade em cada argumento) e as propriedades de soma e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Verificamos a linearidade em relação ao primeiro argumento. Para x1,x2,yin K^n e alphain K, pela distributividade de soma e escalar sobre matrizes temos:
(x1 + x2)^t A y = x1^t A y + x2^t A y
Logo,
b(x1 + x2, y) = b(x1,y) + b(x2,y)
E para escalar:
(alpha x1)^t A y = alpha (x1^t A y)
Logo,
b(alpha x1, y) = alpha b(x1,y)

Passo 3

Verificamos a linearidade em relação ao segundo argumento. Para x, y1, y2in K^n e betain K, pela distributividade:
x^t A (y1 + y2) = x^t A y1 + x^t A y2
Logo,
b(x, y1 + y2) = b(x,y1) + b(x,y2)
E para escalar:
x^t A (beta y1) = beta (x^t A y1)
Logo,
b(x, beta y1) = beta b(x,y1)

Passo 4

Como mostramos que b é linear em cada argumento separadamente, concluímos que b(x,y)=x^tAy é de fato uma forma bilinear em K^n.

Resposta

A função b(x,y)=x^tAy satisfaz a linearidade em cada argumento e, portanto, é uma forma bilinear em K^n.

Exercícios relacionados