2 Seja
. Mostre que a seguinte função
é uma forma bilinear em
. Recorde que, por convenção os vetores
, são denotados como matrizes
.
Passo 1
A questão pede para mostrar que a função
definida por
é uma forma bilinear. Vamos usar a definição de forma bilinear (linearidade em cada argumento) e as propriedades de soma e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Verificamos a linearidade em relação ao primeiro argumento. Para
e
, pela distributividade de soma e escalar sobre matrizes temos:
Logo,
E para escalar:
Logo,
Passo 3
Verificamos a linearidade em relação ao segundo argumento. Para
e
, pela distributividade:
Logo,
E para escalar:
Logo,
Passo 4
Como mostramos que
é linear em cada argumento separadamente, concluímos que
é de fato uma forma bilinear em
.
Resposta
A função
satisfaz a linearidade em cada argumento e, portanto, é uma forma bilinear em
.