Exercício 6. Identifique as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso.
y^{2}=16 x^{2}+4 z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície dada por
y^{2} = 16\,x^{2} + 4\,z^{2}
Este é um caso de classificação de superfícies quádricas. Para resolver, vamos escrever a equação em forma padrão e analisar as seções transversais para ver de que tipo de superfície se trata e qual é seu eixo de simetria.

Passo 2

Reescrevemos a equação agrupando tudo num só lado e colocando em forma de quádruplo padrão:
y^{2} - 16\,x^{2} - 4\,z^{2} = 0.
Agora colocamos em forma de frações que lembrem cones ou outras quádricas:
\frac{y^{2}}{1} \;-\;\frac{x^{2}}{\tfrac{1}{16}}\;-\;\frac{z^{2}}{\tfrac{1}{4}} \;=\;0.

Passo 3

Reconhecemos a forma geral
\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0
como a de um cone duplo (duas nappes) com vértice na origem. Aqui a^{2}=1, b^{2}=\tfrac{1}{16} e c^{2}=\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Para confirmar, analisamos a seção em y=k fixo:
k^{2} = 16\,x^{2} + 4\,z^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{k^{2}/16} + \frac{z^{2}}{k^{2}/4} = 1.
Se k\neq0, temos elipses no plano y=k. Para k=0, reduz-se ao ponto (0,0,0). Isso caracteriza um cone cujas “fatias” são elipses.

Resposta

A superfície é um cone duplo elíptico com vértice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo y.

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