Exercício 6. Identifique as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso.
Passo 1
O enunciado pede para identificar a superfície dada por
Este é um caso de classificação de superfícies quádricas. Para resolver, vamos escrever a equação em forma padrão e analisar as seções transversais para ver de que tipo de superfície se trata e qual é seu eixo de simetria.
Passo 2
Reescrevemos a equação agrupando tudo num só lado e colocando em forma de quádruplo padrão:
Agora colocamos em forma de frações que lembrem cones ou outras quádricas:
Passo 3
Reconhecemos a forma geral
como a de um cone duplo (duas nappes) com vértice na origem. Aqui
,
e
.
Passo 4
Para confirmar, analisamos a seção em
fixo:
Se
, temos elipses no plano
. Para
, reduz-se ao ponto
. Isso caracteriza um cone cujas “fatias” são elipses.
Resposta
A superfície é um cone duplo elíptico com vértice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo
.